4.3.1 等比数列的概念-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.1：等比数列的概念 【考点梳理】 考点一：等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 考点二：等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 考点三：等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 考点四：等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则 an＝a1qn－1①＝amqn－m②＝·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数． 等比数列的应用及性质 考点五：实际应用题常见的数列模型 1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y ＝a(1＋r)n. 2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n， 则总产值y ＝ N (1 ＋ p)n. 考点六：等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 【题型归纳】 题型一：等比数列中的基本运算 1．（23·24高二上·甘肃酒泉·期中）在等比数列中，，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（23·24高二上·福建龙岩·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．（2023·云南·模拟预测）已知为递增的等比数列，且满足，，则（    ） A． B．1 C．16 D．32 题型二：等比中项的应用 4．（22·23高二下·西藏日喀则·期末）已知等差数列的公差为2，前项和为，若成等比数列，则（    ） A．16 B．64 C．72 D．128 5．（22·23高二下·湖南·期末）已知数列中，且，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江台州·二模）已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 题型三：等比数列下标的性质及其应用 7．（22·23上·牡丹江·期末）在等比数列中，若，则此数列的前10项之积等于（    ） A．50 B． C． D． 8．（22·23高二下·江西赣州·阶段练习）在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．147 D．192 9．（22·23下·鸡西·期中）等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 题型四：等比数列子数列的性质 10．（23·24高二上·甘肃金昌·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 11．（21·22高二上·吉林白山·期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 12．（17·18高二·全国·课时练习）已知数列满足,且,则的值是 A． B． C．4 D． 题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值） 13．（22·23高二下·辽宁·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项不正确的是（    ） A．为递减数列 B． C．是数列中的最大项 D． 14．（22·23高三上·贵州黔西·阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 15．（2020·上海青浦·一模）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；② ；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 题型六：等比数列的证明 16．（22·23高二下·河南周口·阶段练习）已知数列满足:. (1)证明:是等比数列; (2)求数列的前项和. 17．（22·23高二下·黑龙江鹤岗·期中）已知数列满足，   (1)求 (2)若，求证数列是等比数列并求数列的通项公式 (3)求数列的通项公式 18．（23·24上·广东·阶段练习）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8. (1)求等差数列