4.2.2 等差数列的前n项和公式-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.2等差数列的前n项和公式 【考点梳理】 考点一：等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 考点二：等差数列前n项和的性质 1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. 4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. 考点三：等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝n2＋n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． 大重难点规律总结： (1)利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． (3)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形 ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和． ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n项和Sn最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 或来寻找． ②运用二次函数求最值． 【题型归纳】 题型一：等差数列前n项和的基本量计算 1．（22·23高二下·全国）已知为单调递增的等差数列，且，，则的值为（   ） A．15 B．17 C．19 D．21 2．（22·23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）在项数为的等差数列中，其前项的和为，最后项的和为，所有项的和为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23·24高二上·全国·课时练习）已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． 题型二：等差数列片段和的性质 4．（22·23高二下·江西吉安·期末）记为等差数列的前项和，，，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．（22·23高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．40 B．45 C．50 D．55 6．（2022·青海海东·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．－10 B．－20 C．－120 D．－110 题型三：等差数列前n项和与n的比值问题 7．（2023高三·全国·专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（    ） A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040 8．（21·22高三上·重庆渝中·阶段练习）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（    ） A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018 9．（19·20高三上·河南·阶段练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则（    ） A．0 B．2018 C． D．2020 题型四：两个等差数列前n项和的比值问题 10．（22·23高二下·河南周口·期中）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（22·23高二下·黑龙江鹤岗·期中）已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（23·24高二上·浙江嘉兴·期末）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 题型五：等差数列前n项和的最值问题（二次函数、不等式） 13．（21·22高二·全国·）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，若，则公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（22·23·成都·