4.2.1 等差数列的概念-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.1 等差数列的概念 【考点梳理】 考点一：等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 考点二：等差中项的概念 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b. 考点三：等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d. 考点四：从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 等差数列的性质 考点一：等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 考点二：等差数列的性质 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列； d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 【题型归纳】 题型一：利用定义法求等差数列的通项公式 1．（22·23上·三门峡·期末）若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（22·23上·济宁·期末）已知数列为等差数列且，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 3．（22·23上·湖北·期末）记首项为1的数列的前n项和为，且时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型二：等差数列的通项公式基本量的计算 4．（22·23下·廊坊·开学考试）已知等差数列满足，，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（22·23下·潍坊·阶段练习）已知数列满足，，若，则（    ） A．9 B． C．10 D． 6．（23·24上·大同·期末）等差数列中，，，则该数列的公差为（    ） A． B．2 C． D．3 题型三：等差中项及应用 7．（22·23下·全国·课时练习）在等差数列中，，则（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 8．（22·23高二下·湖北孝感·期中）已知为等差数列，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（22·23上·兰州·阶段练习）已知数列满足，则等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型四：等差数列性质的应用 10．（22·23高二下·新疆巴音郭楞·期中）在等差数列中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（22·23高二上·甘肃嘉峪关·期末）若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（    ） A．1 B． C． D． 12．（22·23上·广东·期末）已知等差数列满足，，则值为（    ） A．1024 B． C．256 D． 题型五：等差数列的应用 13．（21·22高二上·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 14．（2022·河南郑州·模拟预测）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（    ） A．9.5 尺 B．10.5 尺 C．11.5 尺