精品解析：上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

同济大学第二附属中学2023学年第一学期期中考试 高二年级数学学科试卷 班级__________姓名__________学号__________ （完成时间：120分钟 满分：150分） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，前6题每个空格填对得4分､后6题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知一个球的半径是，则它的表面积是_____． 2. 已知长方体的长､宽､高分别为1､2､3，则长方体的体对角线长为__________. 3. 已知直线a和平面，若，则a与的位置关系为________． 4. 已知底面半径为2的圆锥的侧面积为，则圆锥的体积为__________. 5. 一水平放置平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的面积为__________. 6. 在正方体中，与相交于点，直线与平面 所成角的大小是 ___. 7. 在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为__________. 8. 在三棱锥中，点O是点P在底面ABC内的射影．若，，则O是的___心． 9. 若异面直线所成角为为空间一定点，则过点且与所成的角都是的直线有且仅有__________条. 10. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，侧棱底面，，，，则到的距离为_________. 11. 如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于__________. 12. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为.若点为线段上的动点（不包括端点），锐二面角余弦值的取值范围为______. 二､选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13､14题选对得4分，15､16题选对得5分，否则一律得零分. 13. 给出下面四个命题： ①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面． 其中正确的命题是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 14. 已知a，b为两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若a⊥α，a⊥b，则b//α B. 若a//α，a⊥b，则b⊥α C 若a//α，b//α，则a//b D. 若a⊥α，a//b，则b⊥α 15. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 与垂直 B. 与平面垂直 C. 与平行 D. 与平面平行 16. 在棱长为12的正方体内有一个正四面体，该四面体外接球的球心与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则该四面体的棱长的最大值为（ ） A. B. C. D. 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 如图，在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 18. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息､避雨､乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地，设圆锥中母线与圆柱底面半径所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米. （1）求几何体表面积； （2）如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，判断该亭子是否满足建筑要求. 19. 如图，已知正方体的棱长为分别为的中点. （1）已知点满足，求证四点共面； （2）求点到平面距离. 20. 如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. （1）求证：平面； （2）当三棱锥体积最大时，求三棱锥的表面积； （3）若是的中点，点在线段上，求的最小值. 21. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面. （1）求证：为线段中点； （2）求证：平面平面； （3）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 同济大学第二附属中学2023学年第一学期期中考试 高二年级数学学科试卷 班级__________姓名__________学号__________ （完成时间：120分钟 满分：150分） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，前6题每个空格填对得4