4.4.2 对数函数的图象和性质(1) 学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.2　对数函数的图象和性质（1） 【知识梳理】 【知识点一】对数函数的图象与性质 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过点(1,0)，即loga1＝0 函数值 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 趋势 a值越大 图象越靠近x，y轴 a值越小 图象越靠近x，y轴 【知识点二】反函数 1．反函数的概念：一般地，函数y＝f(x)(x∈A)中，设它的值域为C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到x＝g(y)．如果y在C中的任何取值，通过x＝g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，则x＝g(y)就表示x是关于自变量y的函数．这样的函数x＝g(y)(y∈C)叫做y＝f(x)(x∈A)的反函数，记作y＝f(x)． 2．反函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)若函数y＝f(x)的图象上有一点(a，b)且函数y＝f(x)存在反函数，则点(b，a)必在其反函数的图象上，反之也成立． (3)互为反函数的两个函数的单调性相同． 【类型一】与对数函数有关的定义域与值域 【例1】(1)已知函数y＝f(x)的定义域为[0,1]，则函数y＝f(log(3－x))的定义域为________． (2)求下列函数的值域． ①y＝log3(2x－1)，x∈[1,2]； ②y＝log0.4(－x2＋3x＋4)． 【归纳小结】 （1）求与对数函数有关的定义域时，千万不要忘记负数和零没有对数，即真数是正数，同时对数的底数也是一个大于0且不等于1的数. （2）求定义域的常用方法是解不等式组，有时在解不等式时，还要考虑函数的单调性，如本1中求定义域时便利用了对数函数的单调性求解. （3）求形如y＝loga f（x）（a>0，且a≠1）的复合函数值域的步骤：①分解成两个函数y＝logau，u＝f（x）；②求f（x）的定义域；③求u的取值范围；④利用单调性求解y＝logaf（x）（a>0，且a≠1）的值域. 4若对数函数的底数是含字母的代数式（或单独一个字母），要判断其单调性时，必须对底数进行分类讨论. 【变式训练1】(1)函数f(x)＝log(x2＋2x＋3)的值域是 . (2)若函数f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a＝ . 【类型二】对数函数图象的有关问题 【例2】对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx在同一坐标系内的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是________． 【归纳小结】 当0<a<1时，对数函数的图象是下降的，而且随着a由大变小，图象下降的速度变慢.当a>1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢. 【变式训练2】已知a>1，则函数y1＝log2ax，y2＝logax，y3＝，试问，y3的图象在第一象限从左向右最先穿过y1，y2的哪一个图象(　 　) A．y1　　　　　　　　　　 B．y2 C．同时穿过 D．没有交点 【例3】函数y＝ax2＋bx与(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的大致图象可能是(　　) 【归纳小结】 对有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是“上升”还是“下降”、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点、函数值域等求解. 【变式训练3】函数y＝的图象大致是(　 　) 【例4】已知函数y＝loga(x＋1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则b＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【归纳小结】 解决与对数函数有关的函数图象恒过定点问题的依据是对任意的a>0且a≠1，都有loga1＝0，例如，解答函数y＝m＋loga f(x)（a>0，且a≠1)的图象恒过定点的问题时，只需令 f(x)＝1求出x，即得定点(x，m). 【变式训练4】函数y＝2loga|1－x|＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点 . 【例5】作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象． 【变式训练5】画出下列函数的图象，并根据图象求出函数的定义域、值域以及单调区间． (1)y＝log3(x－2)；(2)y＝|logx|. 类型三　　对数函数图象的综合应用 【例6】当x∈(1,2)时，不等式(x－1