4.4.1对数函数的概念学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.1　对数函数的概念 【知识梳理】 【知识点】对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 【思考】1．为什么在对数函数中要求a>0，且a≠1? 提示：根据对数式与指数式的关系知，y＝logax可化为ay＝x，联想指数函数中底数的范围，可知a>0，且a≠1. 2．对数函数的定义域为什么是(0，＋∞)? 提示：ax＝N⇔logaN＝x，真数为幂值N，而N>0，故式子logax中，x>0. 3．对数函数的解析式有何特征？ 提示：①a>0，且a≠1；②logax的系数为1；③自变量x的系数为1. 【题型探究】 【类型一】对数函数的概念 【例1】(1)若函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a的值是(　　) A．1或2　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．a>0且a≠1 (2)已知对数函数f(x)的图象过点. ①求f(x)的解析式； ②解方程f(x)＝2. 【归纳小结】 1．判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. 2．对数函数解析式的求法 若已知一个函数是对数函数，则可设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，再根据条件求出a值． 【变式训练1】(1)已知对数函数f(x)的图象过点(8,3)，则＝ . (2)已知函数f(x)＝(2m2－m)logax＋m－1是对数函数，则m＝ . 【类型二】对数型函数的定义域 【例2】(1)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．(0,1) D．[0,1] (2)函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是________． 【变式训练2】(1)函数f(x)＝的定义域为________________． (2)已知函数f(x)＝log2[ax2＋(a－1)x＋a]的定义域为R，则a的取值范围是_________. 【类型三】对数函数在实际问题中的应用 【例3】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份．(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) 【归纳小结】 建立对数函数模型解决应用问题 对数运算可转化为求指数的运算，因此要建立对数函数模型，可设指数变量为y，利用指数与对数的互化得到对数函数解析式，再利用已知数据或计算工具计算解题. 【变式训练3】某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤多少次，才能使产品达到市场要求？(参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1) 【课堂小练】 1．下列函数，其中为对数函数的是(　 　) A．y＝log(－x) B．y＝2log4(1－x) C．y＝lnx D．y＝log(a2＋a)x 2．函数f(x)＝lg(6－x)＋的定义域为(　 　) A．(－∞，6) B．[4,6) C．[4，＋∞) D．(4,6) 3．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是(　 　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x C．f(x)＝log2x D．f(x)＝elnx 4．设函数f(x)＝则f(f(10))的值为 . 5．已知对数函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，求f 及f(2lg2)． 【课堂总结】 1．只有形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数才是对数函数．例如，y＝log3x，y＝logx等都是对数函数；而y＝log3(x＋1)，y＝2log3x等都不是对数函数． 2．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如logam＝n，这时先把对数式logam＝n化为指数式的形式an＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式m＝kn(k>0，且k≠1)，解得a＝k>0.还可以直接写出a＝m，再利用指数幂的运算性质化简m. 3．定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1. 【答案解析】 【类型一】对数函数的概念 【例1】答案：(1)C　(2)见解析 【解析】(1)∵函数f(