专题4.4 比较线段的长短（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.4 比较线段的长短（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】线段的基本事实 (1) 线段的基本事实：两点之间的连线中，线段最短；简单说成：两点之间线段最短； 特别提醒：具有最短性、唯一性、存在性； (2) 两点之间的距离：两点之间的线段长度，叫做这两点的距离； 特别提醒：两点之间距离是一个具体的数量，而线段本身是图形，因此不能把A、B两点的距离说成线段AB。 【知识点二】线段的比较及长短比较 1、线段的长短比较 (1) 度量法:利用刻度尺分别测量出两条线段的长度,然后根据测量结果进行比较。 (2) 叠合法:把两条线段中的一条线段移到另一条线段上使它们有一个端点重合,然后根据另一个端点的位置进行比较。 特别提醒：度量法和叠合法是从“数”和“形”两个方面进行比较的,从“度”的方面比较，一般用度量的方面比较，从“形”的方面比较一般用叠合法。 2.尺规作图：在数学中,我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图,这就是尺规作图。 【知识点三】线段的中点 1.线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.如图一、如果点M是线段AB的中点,则有AM=BM=AB. 图1 图2 2.三等分线段：把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点如图2，点M、N是线段AB的三等分点，则有AM=MN=NB==AB 特别提醒：线段中点的表示方法：线段中点一定在线段上,表示点M是线段AB的中点有三种方法: (1) AM=BM; (2) AB=2AM=2BM; (3) AM=BM=AB. 【考点目录】 【考点一】利用线段（直线）的基本事实解决问题； 【考点二】线段的长度比较方法比较线段的长短； 【考点三】利用线段中点求线段长； 【考点四】求线段的和与差； 【考点五】线段上的动点问题。 【考点一】利用线段（直线）的基本事实解决问题 【例1】（21·22下·淄博·期中）直线m表示一条公路，公路两旁分别有两个村庄A和B，要在公路上建一个临时车站P，使它到两个村庄距离之和最小，车站P应建在什么位置？在图中画出车站的位置，并说明这样的理由． 【分析】连接AB，则AB与直线m的交点就是车站P的位置． 解：如图，连接AB，则AB与直线m的交点就是车站P的位置， 理由：两点之间线段最短． 【点拨】本题考查了两点之间线段最短的实际应用，掌握两点之间线段最短是解答本题的关键． 【变式1】（22·23上·邢台·期中）生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 【答案】D 【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案． 解：现象1：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：D． 【点拨】本题考查了两点确定一条直线，两点之间线段最短，熟练运用以上知识是解题的关键． 【变式2】（18·19上·南京·期末）下列三个现象： ①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上； ②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料； ③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上． 其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 （填序号）． 【答案】② 【分析】直接利用线段的性质进而分析得出答案． 解：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释； ②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料，可用“两点之间线段最短”来解释； ③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上，可用“两点确定一条直线”来解释； 其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有②． 故答案为：②． 【点拨】此题考查了线段的性质和直线的性质，正确应用线段的性质是解题关键． 【考点二】线段的长度比较方法比较线段的长短 【例2】（17·18·常州·期末）如图，已知CA⊥BA （1）画图：①延长BA到D，使AD=BA，连接CD； ②过点A画AE∥BC，AE与CD相交于点E； ③过点B画BF⊥CD，交DC的延长线于点F． 思考：图中有______条线段，它们的长度表示点到直线的距离； （2）度量： ①你度量的哪些量？______； ②通过度量你发现：______．（写一条发现即可） 【答案】（1）详见分析；（2）7，线段BC、线段CD，BC=CD． 【分析】