辽宁省沈阳市一二〇中学2023-2024学年高三上学期第四次质量监测数学试题

沈阳市第120中学2023－2024学年度上学期 高三年级第四次质量监测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 命题人：马健 于茂源 校对人：高越 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 8 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ） A. 90 B. -90 C. 180 D. -180 4. 向量，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在《九章算术商功》中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭．在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，，且函数的导函数有唯一零点，则的值为（ ）． A. 1021 B. 1022 C. 1023 D. 1024 7. 已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是（    ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（ ） A. 6π B. 30π C. D. 二、多选题（本题共4小题，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 在回归分析中，相关指数越小，说明回归效果越好 B. 已知，若根据2×2列联表得到的观测值为4.1，则有95%的把握认为两个分类变量有关 C. 已知由一组样本数据（，2，，n）得到的回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有 D. 若随机变量，则不论取何值，定值 10. 若函数的图象关于直线对称，则（ ） A B. 点是曲线一个对称中心 C. 直线也是一条对称轴 D. 函数在区间上单调 11. 已知是数列的前项和，且，则下列选项中正确的是（ ）. A. （） B. C. 若，则 D. 若数列单调递增，则的取值范围是 12. 若正实数满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若直线：与：平行，则，间的距离是______． 14. 已知锐角，满足，则__________. 15. 第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答） 16. 在锐角中，，若点为的外心，且，则的最大值为___________. 四、解答题（本题共6小题，共70分） 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 18. 已知点，圆的半径为1. （1）若圆圆心坐标为，过点作圆的切线，求此切线的方程； （2）若圆的圆心在直线上，且圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围. 19. 已知数列中，，是数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式： （2）证明：. 20. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 21. 在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种.单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误得0分. （1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是.问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率； （2）小明同学在做某道多项选择题时，发现该题的四个选项他均无把握判断正误，于是他考虑了以下两种方案：方案①单选：在四个选项中，等可能地随机选择一个；方案②多选：在有可能是正确答案的所有选项组合（如、等）中，等可能地随机选择一种.若该多项选择题有三个选项是正确的，请从数学期望的角度分析，小明应选择何种方案，并说明理由. 22. 设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，设极大值点为为的零点，求证：.