4.1.1 n次方根与分数指数幂 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.1 课时1 次方根与分数指数幂 1. 通过对整数指数幂的含义的回顾,了解指数幂的概念的拓展过程和指数运算的意义. 2. 理解次方根与分数指数幂的关系,掌握其互化方法,会求特殊的分数指数幂的值. 3. 掌握有理数指数幂的运算性质,能正确地运用指数幂概念和运算法则进行指数运算. 学习目标 情境：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？ 新课导入 分裂 次数 细胞 总数 1次 2次 3次 4次 x次 …… 21 22 23 24 新课导入 为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.初中已经学过整数指数幂． 幂 指数 底数 读作“a的n次方”或“a的n次幂” 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 新课导入 5 ·指数运算 整数指数幂的运算性质： 整数指数幂： 知识探究 6 为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数. 初中已经学过整数指数幂.在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数 记作 . 像 这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究. 我们知道： 如果 ，那么 x 叫做 a 的平方根.例如，±2就是4的平方根； 如果 ，那么 x 叫做 a 的立方根.例如，2就是8的立方根. 类似地，由于 ，我们把±2叫做16的4次方根；由于 ，2叫做32的5次方根. 知识探究 一般地，如果 ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中n>l，且 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数.这时 a 的 n 次方根用符号 表示. 例如， 当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时正数 a 的正的 n 次方根用符号 表示 . 负的 n 次方根用符号 表示. 例如， 一、次方根的定义与性质 知识探究 负数没有偶次方根. 0的任何次方根都是0，记作 . 式子 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫被开方数. 为什么负数没有偶次方根？ 根据n次方根的意义，可得 例如， 因为任意实数的偶次方是非负数. 知识探究 探究： 表示 的 n 次方根， 一定成立吗？如果不一定成立，那么 等于什么？ 可以得到：当n为奇数时， 当n为偶数时， 名师点析 1.在n次方根的概念中,关键是数a的n次方根x满足xn=a,因此求一个数a的n次方 根,就是求一个数的n次方等于a. 2.n次方根实际上就是平方根与立方根的推广. 3.n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算. 知识探究 例1 求下列各式的值： 解： 当堂检测 思考:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？ 根据n次方根的定义和数的运算，我们知道 这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式. 把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把 等写成下列形式： 我们希望整数指数幂的运算性质，如 对分数指数幂仍然适用. 二、分数指数幂 知识探究 由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是 于是，在条件 下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定， 例如， 与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定， 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 知识探究 规定了分数指数幂的意义以