专题18 等边三角形专题-2023-2024学年八年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（人教版）

专题18 等边三角形专题（原卷版） 类型一 手拉手模型与等边三角形 典例1 （2022秋•南昌期中）探究等边三角形“手拉手”问题． （1）如图1，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由； （2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，则∠ADB+∠ADE＝　 　度； （3）如图3，已知点E在等边三角形△ABC外，点E、点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜想线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由． 变式训练 1．如图，△ABD和△ACE都是等边三角形． （1）求证：BE＝CD； （2）求∠BFC的度数； （3）求证：FA平分∠DFE； （4）求证：AF+BF＝DF． 2．△ABC为等边三角形，D为射线BC上一点，∠ADE＝60°，DE与∠ACB的外角平分线交于点E． （1）如图1，点D在BC上，求证：CA＝CD+CE； （2）如图2，若D在BC的延长线上，直接写出CA、CD、CE之间的数量关系， 类型二 过等边三角形边上或边的延长线上一点作平行线 典例2（2023春•垦利区期末）已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE． （1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由； （2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由． 变式训练 1．（2020秋•开福区校级月考）已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE． （1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD； （2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由； （3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系，并证明． 2．（2018秋•硚口区期中）如图，在等边△ABC中，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，AD＝CE，DE交AC于点F． （1）求证：DF＝EF； （2）过点D作DH⊥AC于点H，求． 3．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，F是边AB上的动点，E为直线BC上一点，且∠EDF＝120°． ①如图1，求证：DF＝DE； ②如图2，过点D作DM⊥BC于M，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 等边三角形专题（解析版） 类型一 手拉手模型与等边三角形 典例1 （2022秋•南昌期中）探究等边三角形“手拉手”问题． （1）如图1，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由； （2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，则∠ADB+∠ADE＝　180　度； （3）如图3，已知点E在等边三角形△ABC外，点E、点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜想线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由． 【思路引领】（1）利用SAS定理证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE＝60°，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据题意得到证明∠AEC＝120°，证明△BAD≌△CAE，得到∠ADB＝∠AEC＝120°，进而得到答案； （3）在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，证明△ABH≌△ACE，得到∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，证明△AEH是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AE＝EH，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：（1）CE∥AB， 理由如下：∵△ABC、△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE＝60°， ∴AB∥CE； （2）∵△ABC、△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ADE＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∵∠AED＝60°，∠DEC＝60°， ∴∠AEC＝120°， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC＝120°， ∴∠ADB+∠ADE＝180°， 故答案为：180； （3）结论：BE＝AE+EC， 理由如下：如图3，在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点