专题52椭圆及其性质-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试

专题52椭圆及其性质 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：椭圆的定义 题型二：椭圆的离心率 题型三：椭圆的标准方程 题型四：椭圆的焦点、焦距 题型五：椭圆的范围 题型六：椭圆的顶点、长短轴 题型七：椭圆的应用 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、 几何图形、标准方程及简单几何性质. 【考点预测】 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【常用结论】 1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a； (2)a－c≤|PF|≤a＋c. 2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中： (1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； (2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－. 【方法技巧】 1.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 2.根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可． 3.求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． (3)构造a，c的齐次式．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 4.与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质； (2)利用函数，尤其是二次函数； (3)利用不等式，尤其是基本不等式． 二、【题型归类】 【题型一】椭圆的定义 【典例1】（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（    ） A．若直线CA的斜率为，BD的斜率，则 B．存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形 C．取值范围为 D．周长的最大值为 【典例2】（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，（其中），点在椭圆上，点是圆上任意一点，的最小值为2，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的焦距为2 B．过作圆切线的斜率为 C．若、为椭圆上关于原点对称且异于顶点和点的两点，则直线与的斜率之积为 D．的最小值为 【典例3】（多选）设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P是C上异于､的一点，则下列结论正确的是（    ） A．若C的离心率为，则直线与的斜率之积为 B．若，则的面积为 C．若C上存在四个点P使