专题51 直线与圆、圆与圆的位置关系-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试

专题51直线与圆、圆与圆的位置关系 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：直线与圆的位置关系 题型二：圆的切线方程 题型三：圆的弦长与弦心距 题型四：直线与圆的应用 题型五：圆与圆的位置关系 题型六：圆的公共弦 题型七：圆的公切线 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 【考点预测】 1.直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r， 则圆心距d＝|C1C2|＝. 则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2 图示 公切线条数 4 0 2 1 3 【常用结论】 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·. 【方法技巧】 1.判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 2.弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 3.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 4.涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果． 5.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 二、【题型归类】 【题型一】直线与圆的位置关系 【典例1】（多选）已知曲线C的方程为，圆，则（    ） A．C表示一条直线 B．当时，C与圆M有3个公共点 C．当时，存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点 D．当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是 【典例2】（多选）已知直线：，：，圆C：，若圆C与直线，都相切，则下列选项一定正确的是（    ） A．与关于直线对称 B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9 C．圆C的圆心在直线或直线上 D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个 【典例3】（多选）已知直线和圆，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得直线与圆相切 B．若直线与圆交于两点，则的最小值为 C．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为 D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 【题型二】圆的切线方程 【典例1】（多选）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直