4.3-4.4对数与对数函数讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第10讲 对数及对数函数 一、知识点梳理 对数的概念与运算 1.对数的有关概念 （1）对数的概念： 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． （2）常用对数与自然对数： 通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg N，logeN简记为ln N. 2.对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系： 若a>0，且a≠1，则ax＝N ⇔logaN＝x. 对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)． 3.对数的性质 （1）1的对数为零． （2）底数的对数为1. （3）零和负数没有对数． 4.对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 5.换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． （2）对数换底公式的重要推论： logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； ＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 对数函数 1.对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2.对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 3.不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴； 对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴． 4.三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 增函数 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随x的增大匀速上升 增长速度 y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长 二、课堂练习 考点一：指数、对数互化 1.列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点二：对数有意义 2.已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点三：对数运算 3.下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4.求值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 考点三：对数运算性质的应用 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6.若，则x的值为 ． 7.已知，，且，则的最小值是（    ） A．18 B．16 C．10 D．4 8.一种药在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么距下次注射这种药物最多不能超过（    ）小时．（精确到，参考数据：） A． B． C． D． 考点四：对数换底公式的应用 9.化简式子等于（    ） A．0 B． C． D． 10.（    ） A． B． C．15 D．12 考点五：对数函数的概念与解析式 11．下列函数中，是对数函数的有（ ） ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（     ） A． B． C．或 D．不确定 考点七：对数函数的定义域、值域（复合型对数函数） 13.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 14．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 15.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 1