24.2.2 直线和圆的位置关系（讲+练，21题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

24.2.2 直线和圆的位置关系 1. 了解点和圆的三种位置关系的图形特征;掌握点到圆心的距离与半径之间的数量关系;掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”,并能作出这个圆 2. 了解反证法的意义，会用反证法进行简单的证明， 3. 掌握直线和圆的三种位置关系的特点及判别方法:了解割线、切线的概念:掌握切线的判定和性质，并能灵活运用， 4. 了解并会应用切线长定理,了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念 5. 体验数形结合思想和建模思想,提高解决实际问题的能力. 知识点一 直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点,这时我们说这条直线和圆相交 直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切 直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离 图形 公共点个数 2 1 0 圆心到直线的距离d与半径r的关系 d＜r d=r d＞r 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 总结 直线l与O相交 直线l与O相切 直线l与O相离 即学即练 已知，的半径为一元二次方程的两根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是 ． 知识点二 切线的判定定理和性质定理 定理 文字语言 符号语言 判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 即学即练（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 知识点三 切线长及切线长定理 1.切线长 经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长 如图所示,直线PA是的切线，点A是切点,线段PA的长是点 P到的切线长 2. 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 如图所示，用数学符号语言叙述:因为PA、PB是的两条切线,所以PA=PB， ∠APO=∠BPO=∠APB 提示 (1)此图是切线长定理的一个基本图形,还可以得出很多结论，如:POAB;AD =BD;;PAOA,PBOB;∠AOB+∠APB =180°,∠AOP=∠BOP =∠AOB ; ∠1=∠2=∠3=∠4等. (2)此定理主要用于证明线段相等、角相等及垂直关系，如 PO垂直平分AB,应重点掌握. 3.三角形外心的性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径 4.三角形外心的位置 锐角三角形的外心在三角形内部; 直角三角形的外心是斜边中点: 钝角三角形的外心在三角形外部 5.三角形外接圆的作法 分别作出三角形两条边的垂直平分线,两垂直平分线的交点O即为该三角形的外接圆的圆心，于是以点0为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆. 即学即练（2023上·福建福州·九年级校联考期中）如图，、、是的切线，、、为切点，若，，则的长为 ．    知识点四 三角形的内切圆 1.三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,这个三角形叫做圆的外切三角形. 2.三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心 3.三角形内心的性质 (1)三角形的内心是三条角平分线的交点; (2)内心到三角形三边的距离相等 4.三角形的内切圆的作法 先作出三角形的两条角平分线,以两条角平分线的交点为圆心,交点到一边的距离为半径作圆,即可得到三角形的内切圆 提示 一个三角形只有一个内切圆,而一个圆有无数多个外切三角形 5.三角形的外心、内心比较 名称 外心 内心 图形 性质 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 三角形的内心到三角形的三边的距离相等 位置 外心不一定在三角形内 内心一定在三角形内 角度关系 即学即练（2023上·河南漯河·九年级统考期末）如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是 ．    知识点五 圆和圆的位置关系 两圆的位置关系 图形 公共点 数量关系 相离:如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离 外离 无 内含 无 相切:如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切 外切 1 内切 1 相交:如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交 2 即学即练（2023·四川德阳·中考真题）已知的半径为，的半径为，圆心距，如果在上存在一点，使得，则的取值范围是 ． 题型1 判断直线和圆的位置关系 例