微练(五十七) 抛物线-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(五十七)　抛物线 基础过关 一、单项选择题 1.抛物线y=4x2的准线方程是 (D) A.x=-2 B.x=-1 C.y=- D.y=- 解析　由y=4x2可得x2=y,所以p=,所以准线方程为y=-=-。故选D。 2.(2021·新高考全国Ⅱ卷)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p= (B) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为,0,它到直线y=x+1的距离为d==,解得p=2。故选B。 3.已知抛物线M:x2=2py(p>0)的焦点与双曲线N:-x2=1的一个焦点重合,则p= (D) A. B.2 C.2 D.4 解析　抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标为。双曲线N的方程为-x2=1,则a2=3,b2=1,故c==2。因为抛物线M:x2=2py(p>0)的焦点与双曲线N:-x2=1的一个焦点重合,所以=c=2,即p=4。故选D。 4.已知抛物线M的顶点在原点,焦点在y轴负半轴上。经过抛物线M的焦点作直线与抛物线M相交于A,B两点。若|AB|=12,线段AB的中点的纵坐标为-5,则抛物线M的标准方程为 (B) A.x2=-14y B.x2=-4y C.y2=-4x D.y2=-14x 解析　 如图,设抛物线的焦点为F,准线为l,分别过点A,B向直线l作垂线,垂足分别为A',B',依题意,设抛物线M的标准方程为x2=-2py(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=-y1++-y2+=-(y1+y2)+p=12,因为线段AB的中点的纵坐标为-5,即=-5,所以y1+y2=-10,所以p=2,抛物线M的标准方程为x2=-4y。故选B。 5.(2023·广州适应性测试)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线交抛物线C于A,B两点(点A在第一象限),则的值为 (A) A.3 B.2 C. D.1 解析　 解法一:如图,分别过点A,B作准线l的垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1,过点B作BD⊥AA1于点D,BD交x轴于点E,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|。设|AF|=λ|BF|,则|AB|=|AF|+|BF|=(λ+1)|BF|,|AD|=|AA1|-|BB1|=(λ-1)|BF|。在Rt△ADB中,∠BAD=60°,可得cos∠BAD====,解得λ=3,即=3。故选A。 解法二:由题意得|AF|=,|FB|=,所以===3,故选A。 6.抛物线y2=2px(p>0)准线上的点A与抛物线上的点B关于原点O对称,线段AB的垂直平分线OM与抛物线交于点M,若直线MB经过点N(4,0),则抛物线的焦点坐标是 (C) A.(4,0) B.(2,0) C.(1,0) D.,0 解析　设点B(x1,y1),M(x2,y2),则点A(-x1,-y1),可得-x1=-,则x1=,设直线MB的方程为x=my+4,联立可得y2-2mpy-8p=0,所以y1y2=-8p由题意可知,·=x1x2+y1y2=+y1y2=-8p=16-8p=0,解得p=2。因此,抛物线的焦点为(1,0)。 二、多项选择题 7.已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点,则 (ACD) A.C的准线方程为x=-4 B.F点的坐标为(0,4) C.|FN|=12 D.三角形ONF的面积为16(O为坐标原点) 解析　 如图,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线l与x轴交于点F',作MB⊥l于点B,NA⊥l于点A。由抛物线的解析式可得准线方程为x=-4,F点的坐标为(4,0),则|AN|=4,|FF'|=8。在直角梯形ANFF'中,中位线|MB|==6,由抛物线的定义有|MF|=|MB|=6,结合题意,有|MN|=|MF|=6,故|FN|=|MF|+|MN|=6+6=12,|ON|==8,S△ONF=×8×4=16。故选ACD。 8.(2023·武汉模拟)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,若∠ABD=90°,且△ABF的面积为9,则 (BCD) A.|BF|=3 B.△ABF是等边三角形 C.点F到准线的距离为3 D.抛物线C的方程为y2=6x 解析　由题意,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,若∠ABD=90°,由抛物线定义,可得|AB|=|AF|=|BF|,所以△ABF是等边三角形,所以∠FBD=30°,因为S△ABF=|BF|2=9,所以|BF|=6,又焦点F到准线的距离为p=|BF|sin 30°=3,故抛物线方程为y2=6x,B,