微练(五十六) 直线与双曲线的位置关系-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(五十六)　直线与双曲线的位置关系 基础过关 一、单项选择题 1.过点(1,2)且与双曲线x2-=1没有交点的直线l斜率的取值范围是 (B) A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.[-2,2] D.[-2,+∞) 解析　由双曲线的渐近线方程y=±2x,结合选项选B。 2.斜率存在的直线l过点(0,-1)且与双曲线C:-x2=1有且只有一个公共点,则直线l斜率为 (D) A.± B.±2 C.2或 D.±或±2 解析　由题意,设直线l的方程为y=kx-1,代入双曲线方程化简可得k2-4x2-2kx-3=0,当k2=4即k=±2时,(k2-4)x2-2kx-3=0只有一解,满足直线l与双曲线有且只有一个公共点;当k≠±2时,令Δ=4k2+12(k2-4)=0,解得k=±,此时方程有两个相等实数根,满足直线l与双曲线有且只有一个公共点,所以k=±2或k=±。故选D。 3.过双曲线x2-=1的一个焦点作直线l,交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线有 (B) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 解析　当直线l与双曲线的左、右两支各有一个交点时,|AB|的最小值为实轴长2a=2。当直线l与双曲线的其中一支有两个交点时,|AB|的最小值为通径长=4。根据双曲线的对称性可知,若|AB|=4,则当直线l与双曲线的左、右两支各有一个交点时,这样的直线有2条;当直线l与双曲线的其中一支有两个交点时,这样的直线有1条。综上,若|AB|=4,则这样的直线有且仅有3条。 4.已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N。若△OMN为直角三角形,则|MN|= (B) A. B.3 C.2 D.4 解析　根据题意,可知其渐近线的斜率为±,且右焦点为F(2,0),从而得到∠FON=30°,所以直线MN的倾斜角为60°或120°,根据双曲线的对称性,设其倾斜角为60°,可以得出直线MN的方程为y=(x-2),分别与两条渐近线y=x和y=-x联立,求得M(3,),N,-,所以|MN|==3。故选B。 5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,直线l与C交于P,Q两点,D为线段PQ的中点,O为坐标原点,则l与OD的斜率的乘积为 (B) A.2 B.3 C.4 D.6 解析　设P(x1,y1),Q(x2,y2),D(x0,y0),则两式作差,并化简,得=,所以=·,因为D为线段PQ的中点,即所以=·,即e2-1=klkOD,由e=2,得klkOD=3。故选B。 6.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点且斜率不为0的直线交C于A,B两点,D为AB的中点,若kAB·kOD=,则C的离心率为 (D) A. B.2 C. D. 解析　不妨设过双曲线C的焦点且斜率不为0的直线为y=k(x-c),k≠0,令A(x1,y1),B(x2,y2)由整理得(b2-a2k2)x2+2a2k2cx-(a2k2c2+a2b2)=0,Δ>0,则x1+x2=,x1x2=,D,,则kOD==,由kAB·kOD=,可得·k=,则有a2=2b2,即3a2=2c2,则双曲线C的离心率e==。故选D。 二、多项选择题 7.已知双曲线C:-=1的一条渐近线方程为4x-3y=0,过点(5,0)作直线l交该双曲线于A和B两点,则下列结论中正确的有 (BD) A.t=16或t=-9 B.该双曲线的离心率为 C.满足|AB|=的直线l有且仅有一条 D.若A和B分别在双曲线左、右两支上,则直线l的斜率的取值范围是-, 解析　因为双曲线C:-=1的一条渐近线方程为4x-3y=0,所以=,解得t=16,故A错误;双曲线方程为-=1,故a=3,b=4,c==5,所以该双曲线的离心率e=,故B正确;点(5,0)为双曲线的右焦点,当x=5时,y=±,当A,B两点都在双曲线的右支上时,|AB|≥,因为|AB|=,所以这种情况的直线AB只有一条,且AB与x轴垂直,当A,B在双曲线的左右两支上时,可得|AB|≥2a=6,而>6,可得这样的直线有两条,综上所述,满足|AB|=的直线l有3条,故C错误;双曲线的渐近线方程为y=±x,要使A和B分别在双曲线左、右两支上,则直线l的斜率的取值范围是-,,故D正确。故选BD。 8.已知O为坐标原点,双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,过F2的直线与双曲线的右支交于P,Q两点,且|PQ|的最小值为6,则 (ACD) A.该双曲线的方程为x2-=1 B.若OP⊥OQ,则直线PQ的斜率为± C.|F1P|·|F1Q|的最小值为25 D.△F1PQ面积的最小值为12 解析　对于A,依题意可知,|PQ|min==6,c=2a,结合a2+b2=c2,得a=1,b=