微练(五十九) 最值、范围问题-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(五十九)　最值、范围问题 1.已知双曲线-=1(a>0,b>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(,)在双曲线上。 (1)求双曲线的方程; (2)如图,若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q,P,且·=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值。 解　(1)因为e==2,所以c=2a,b2=c2-a2=3a2。所以双曲线的方程为-=1,即3x2-y2=3a2。因为点M(,)在双曲线上,所以15-3=3a2,所以a2=4。所以所求双曲线的方程为-=1。 (2)设直线OP的方程为y=kx(k≠0),则直线OQ的方程为y=-x,由得所以|OP|2=+=。同理可得|OQ|2==,所以+===。设|OP|2+|OQ|2=t,则t·+=2+2+2≥2+2=4,所以t≥=24,即|OP|2+|OQ|2≥24(当且仅当|OP|=|OQ|=2时取等号)。所以当|OP|=|OQ|=2时,|OP|2+|OQ|2取得最小值24。 2.已知抛物线C:y2=2px(p>0),点F为抛物线C的焦点,点A(1,m)(m>0)在抛物线C上,且|FA|=2,过点F作斜率为k≤k≤2的直线l与抛物线C交于P,Q两点。 (1)求抛物线C的方程; (2)求△APQ面积的取值范围。 解　(1)由抛物线的定义可得|FA|=xA+=1+=2,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x。 (2)由(1)可得F(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1)≤k≤2,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ>0恒成立,由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=1。因为AF⊥x轴,所以S△APQ=×|AF|×|x1-x2|=|x1-x2|==4=4。因为≤k≤2,令t=,则S△APQ=4,所以≤S△APQ≤8,所以△APQ面积的取值范围为[,8]。 3.(2022·浙江卷)如图,已知椭圆+y2=1。设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q0,在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-x+3于C,D两点。 (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值; (2)求|CD|的最小值。 解　(1)解法一:设M(x,y)为椭圆上任意一点,P(0,1),|PM|==(-1≤y≤1),当y=-时,|PM|max=。 解法二:设M(2cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,由P(0,1),知|PM|2=12cos2θ+(1-sin θ)2=13-11sin2θ-2sin θ=-11sin θ+2≤。故|PM|的最大值为。 (2)由题意,知直线AB的斜率存在,故设直线AB的方程为y=kx+。将直线AB的方程与椭圆方程联立,得消去y并整理,得k2+x2+kx-=0。设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-。直线PA的方程y=x+1与直线y=-x+3交于点C,则xC==。同理可得xD==,则|CD|=|xC-xD|=-=2=2=·=·= ≥=,当且仅当|4k|=,即|k|=时等号成立。故|CD|的最小值为。 4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1,l2,C上一点A(4,)到l1,l2的距离之积为。 (1)求双曲线C的方程; (2)若P为C的右支上任意一点,M(m,0)(m>0),求|PM|的最小值。 解　(1)由已知可知l1,l2的方程为bx-ay=0,bx+ay=0,因为A(4,)到l1,l2的距离之积为,所以·=,即=　①。又-=1　②,由①②解得b2=1,a2=4,所以双曲线C的方程为-y2=1。 (2)设P(x,y),x≥2,则y2=-1,|PM|2=(x-m)2+y2=x2-2mx+m2-1=x-m2+m2-1,当0<m≤时,m≤2,故x=2时,|PM|min=|m-2|;当m>时,m>2,故x=m时,|PM|min=。综上,当0<m≤时,|PM|min=|m-2|;当m>时,|PM|min=。 5.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆E的离心率为,且通径长为1。 (1)求E的方程; (2)直线l与E交于M,N两点(M,N在x轴的同侧),当F1M∥F2N时,求四边形F1F2NM面积的最大值。 解　(1)依题意可知解得故椭圆E的方程为+y2=1。 (2) 假设M,N两点在x轴上侧,如图所示,延长MF1交E于点M0,由F1M∥F2N知M0与N关于原点对称,从而有|F1M0|=|F2N|,由(1)可知F1(-,0),F2(,0),设M(x1,y1),M0(x2,y2),设MF1的方程为x=my-,由得(m2+4)y2-2my-1=0,Δ=12m2+4(m2+4)>0,故y1+y2=,y1y2=-。设F1M与F2N的距离为d,四边形F1F2NM的面积为S,则S=(