微练(五十八) 求值、证明、探究性问题-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(五十八)　求值、证明、探究性问题 1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的虚轴长为4,直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线。 (1)求双曲线C的标准方程; (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限),记直线MA的斜率为k1,直线NB的斜率为k2,求证:为定值。 解　(1)因为虚轴长为4,所以2b=4,即b=2。因为直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线,所以=2,所以a=1,故双曲线C的标准方程为x2-=1。 (2)证明:由题意知A(-1,0),B(1,0)。设直线l的方程为x=ny+2n<且n≠-,M(x1,y1),N(x2,y2)。由得(4n2-1)y2+16ny+12=0,Δ>0恒成立,所以y1+y2=-,y1y2=,所以ny1y2=-(y1+y2)。因为直线MA的斜率k1=,直线NB的斜率k2=,所以=====-,为定值。 2.已知椭圆C的离心率为,长轴的两个端点分别为A(-2,0),B(2,0)。 (1)求椭圆C的标准方程; (2)过点(1,0)的直线l与椭圆C交于M,N(不与A,B重合)两点,直线AM与直线x=4交于点Q,求证:B,N,Q三点共线。 解　(1)由椭圆长轴的两个端点分别为A(-2,0),B(2,0),可得a=2,因为离心率为,即=,所以c=,又a2=b2+c2,所以b=1。所以椭圆C的标准方程为+y2=1。 (2)证明:设直线l的方程为x=my+1,联立得消去x,得(m2+4)y2+2my-3=0。设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=。所以kAM==,直线AM的方程为y=(x+2),所以Q4,。又kNB==,kBQ===,kNB-kBQ=-====0,即kNB=kBQ,所以N,B,Q三点共线。 3.已知点F1,F2为双曲线C:x2-=1(b>0)的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°。 (1)求双曲线C的标准方程; (2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1,P2,求·的值。 解　(1)设F2,M的坐标分别为(,0),(,y0)(y0>0),因为点M在双曲线C上,所以1+b2-=1,则y0=b2,所以|MF2|=b2。在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,|MF2|=b2,所以|MF1|=2b2。由双曲线的定义可知,|MF1|-|MF2|=b2=2,故双曲线C的标准方程为x2-=1。 (2)由(1)可知,两条渐近线分别为l1:x-y=0,l2:x+y=0。设双曲线C上点P的坐标为(x0,y0),点P1,P2分别在渐近线l1,l2上,两条渐近线的夹角为θ,则与的夹角也为θ,由题意知cos θ=,则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|=,|PP2|=。因为P(x0,y0)在双曲线C:x2-=1上,所以2-=2。所以·=·cos θ=·=。 4.(2023·甘肃诊断考试)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三角形,且椭圆经过点M1,-。 (1)求椭圆E的方程; (2)不经过点M的直线y=x+m(m≠0)与椭圆E相交于A,B两点,A关于原点的对称点为R,直线MR,MB与y轴分别交于P,Q两点,求证:|MP|=|MQ|。 解　(1)设椭圆E的上、下顶点分别为B1(0,b),B2(0,-b),左焦点为F1(-c,0),因为△B1B2F1是等边三角形,所以2b==a,则椭圆E的方程为+=1,将M1,-代入椭圆E的方程,可得+=1,解得b=1,所以椭圆E的方程为+y2=1。 (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则R(-x1,-y1),将直线y=x+m(m≠0)代入椭圆E的方程+y2=1,得x2+mx+m2-1=0,其判别式Δ=3m2-4(m2-1)=-m2+4>0,即-2<m<2。x1+x2=-m,x1x2=m2-1。要证|MP|=|MQ|,只需证直线MR与直线MB的斜率互为相反数,即证kMR+kMB=0。kMR+kMB=+= ===0,所以|MP|=|MQ|。 5.(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ。已知点M(2,0),且☉M与l相切。 (1)求C,☉M的方程; (2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切,判断直线A2A3与☉M的位置关系,并说明理由。 解　(1)由题意,直线x=1与C交于P,Q两点,且OP⊥OQ,设C的焦点为F,P在第一象限,则根据抛物线的对称性,∠POF=∠QOF=45°,所以P(1,1),Q(1,-1)。设C的方程为y2=2px(p>0),则1