微练(四十五) 空间直线、平面的垂直-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(四十五)　空间直线、平面的垂直 基础过关 一、单项选择题 1.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是 (C) A.α⊥β且m⊂α B.m⊥n且n∥β C.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β 解析　由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知C正确。 2.(2022·青岛市月考)若α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则 (B) A.“m∥β”是 “α∥β”的充分不必要条件 B.“m∥β”是 “α∥β”的必要不充分条件 C.“m⊥β”是 “α⊥β”的必要不充分条件 D.“m⊥β”是 “α⊥β”的充要条件 解析　由m⊂α,m∥β推不出α∥β;若α∥β,则β平行于α内的任意一条直线,又m⊂α,所以m∥β,所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件,所以选项A错误,选项B正确。m⊂α,m⊥β,由面面垂直的判定定理得,α⊥β;由α⊥β,m⊂α,推不出m⊥β,所以“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件,所以选项C,D均错误。故选B。 3.如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么顶点D在平面ABC内的射影H必在 (A) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 解析　由AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,AB,BD⊂平面ABD,得AC⊥平面ABD,而AC⊂平面ABC,则平面ABC⊥平面ABD,因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上。故选A。 4.(2023·贵州适应性测试)如图,在四面体ABCD中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是 (C) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC 解析　因为AB=CB,AD=CD,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,DE⊥AC,因为BE∩DE=E,BE,DE⊂平面BDE,所以AC⊥平面BDE,又AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE。故选C。 5.(2022·全国甲卷)在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则 (D) A.AB=2AD B.AB与平面AB1C1D所成的角为30° C.AC=CB1 D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45° 解析　 如图,连接BD,则∠B1DB,∠DB1A分别是B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角,所以∠B1DB=∠DB1A=30°。所以BB1=DB1,BD=DB1,AD=DB1。设BB1=a,则DB1=2a,AD=BC=a,BD=a,所以AB==a,AC=BD=a,CB1==a。所以AB=AD,AC≠CB1,因此A,C项错误。易知∠DB1C是B1D与平面BB1C1C所成的角,且为锐角。因为DC⊥平面BCC1B1,所以在Rt△DCB1中,sin∠DB1C==,所以∠DB1C=45°,即B1D与平面BB1C1C所成的角为45°,因此D项正确。因为AD⊥平面ABB1A1,AD⊂平面AB1C1D,所以平面AB1C1D⊥平面ABB1A1,所以∠B1AB是AB与平面AB1C1D所成的角。在Rt△ABB1中,AB=a,BB1=a,所以tan∠B1AB==≠,所以∠B1AB≠30°,即AB与平面AB1C1D所成的角不是30°,因此B项错误。故选D。 6.在△ABC中,AB=AC,D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,AD=BD,将△ADE沿DE折起,连接AB,AC,当四棱锥A⁃BCED体积最大时,二面角A⁃BC⁃D的大小为 (C) A. B. C. D. 解析　 如图,当四棱锥A⁃BCED体积最大时,平面ADE⊥平面BCED。取DE,BC的中点分别是O,F,连接AO,OF,AF。因为翻折前AB=AC,DE∥BC,所以翻折后AO⊥DE,OF⊥DE,易证∠AOF=90°。又AB=AC,则AF⊥BC,所以二面角A⁃BC⁃D的平面角是∠AFO。因为tan∠AFO===,所以∠AFO=,所以二面角A⁃BC⁃D的大小是。故选C。 二、多项选择题 7.如图,在三棱锥V⁃ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,则下列结论中一定成立的是 (ABD) A.AC=BC B.AB⊥VC C.VC⊥VD D.S△VCD·AB=S△ABC·VO 解析　因为VO⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以VO⊥AB。因为VA=VB,AD=BD,所以VD⊥AB。又因为VO∩VD=V,VO,VD⊂平面VCD,所以AB⊥平面VCD。又因为CD⊂平面VCD,所以AB⊥CD。又因为AD=BD,所以AC=BC,故A正确。因为VC⊂平面VCD,所以AB⊥VC,故B正确。因为S△VCD=VO·