微练(四十七) 用空间向量求空间距离-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(四十七)　用空间向量求空间距离 基础过关 1.在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点。 (1)求点B到直线AC1的距离; (2)求直线FC到平面AEC1的距离。 解　 以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),E1,,0,F1,,1,所以=(0,1,0),=(-1,1,-1),=0,,-1,=-1,,0,=-1,,0,=0,,0。 (1)取a==(0,1,0),u==(-1,1,-1),则a2=1,a·u=。所以点B到直线AC1的距离为==。 (2)因为==-1,,0,所以FC∥EC1,又EC1⊂平面AEC1,FC⊄平面AEC1,所以FC∥平面AEC1。所以点F到平面AEC1的距离为直线FC到平面AEC1的距离。设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),则所以所以取z=1,则x=1,y=2,所以n=(1,2,1)是平面AEC1的一个法向量。又因为=0,,0,所以点F到平面AEC1的距离为==。即直线FC到平面AEC1的距离为。 2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=BC=AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CF⊥PC。 (1)求点A到平面PCF的距离; (2)求AD到平面PBC的距离。 解　 (1)由题意知AP,AB,AD两两垂直,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a)。设F(0,m,0),0≤m≤3a,则=(-a,m-a,0),=(-a,-a,a)。因为CF⊥PC,所以⊥,所以·=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0·a=a2-a(m-a)=0,所以m=2a,即F(0,2a,0)。设平面PCF的法向量为n=(x,y,z),则即取x=1,得n=(1,1,2)是平面PCF的一个法向量。设点A到平面PCF的距离为d,由=(a,a,0),得d===a。 (2)由(1)知=(-a,0,a),=(0,a,0),=(0,0,a)。设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0),由得取x0=1,得n1=(1,0,1)是平面PBC的一个法向量。设点A到平面PBC的距离为h,因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC,所以h为AD到平面PBC的距离,所以h===a。 3.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=2,∠ABC=45°,点E是CD边的中点,将△DAE沿AE折起,使点D到达点P的位置,且PB=2。 (1)求证:平面PAE⊥平面ABCE; (2)求点E到平面PAB的距离。 解　(1)证明:因为在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=2,∠ABC=45°,点E是CD边的中点,将△DAE沿AE折起,使点D到达点P的位置,且PB=2。所以AE==2,所以AE⊥AB,因为AB2+PA2=PB2,所以AB⊥PA,因为AE∩PA=A,AE,PA⊂平面PAE,所以AB⊥平面PAE,因为AB⊂平面ABCE,所以平面PAE⊥平面ABCE。 (2)因为AE=2,PE=DE=2,PA=AD=2,所以PA2=AE2+PE2,所以AE⊥PE,因为AB⊥平面PAE,AB∥CE,所以CE⊥平面PAE,所以EA,EC,EP两两垂直,以E为原点,EA,EC,EP为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),P(0,0,2),所以=(0,0,-2),=(2,0,-2),=(2,4,-2)。设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,得n=(1,0,1)是平面PAB的一个法向量,所以点E到平面PAB的距离为==。 4.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E为PD的中点。 (1)求证:PA⊥平面ABCD; (2)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值; (3)在线段BC上是否存在点F,使得点E到平面PAF的距离为?若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由。 解　(1)证明:因为四边形ABCD为正方形,则BC⊥AB,CD⊥AD,因为PB⊥BC,BC⊥AB,PB∩AB=B,PB,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,因为PA⊂平面PAB,所以PA⊥BC。因为PD⊥CD,CD⊥AD,PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD,因为PA⊂平面PAD,所以PA⊥CD。因为BC∩CD=C,BC,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD。 (2) 因为PA⊥平面ABC