微练(四十六) 空间向量及空间位置关系-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(四十六)　空间向量及空间位置关系 基础过关 一、单项选择题 1.(2023·河北联考)如图,在四面体O⁃ABC中,=a,=b,=c,且=2,=,则= (C) A.a+b+c B.a+b-c C.-a+b+c D.a-b+c 解析　连接ON(图略),因为=,所以=(+),因为=2,所以=,所以=-=(+)-=-a+b+c。故选C。 2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为 (C) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 解析　·=(+)·=(·+·)=(a2cos 60°+a2cos 60°)=a2。故选C。 3.如图所示,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,AM=MC,A1N=2ND。设=a,=b,=c,=xa+yb+zc,则x+y+z= (D) A. B. C. D. 解析　=++=-++=-(+)++(-)=-a-b+c+b-c=-a+b+c,所以x=-,y=z=,故x+y+z=。故选D。 4.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为 (A) A.(1,1,1) B. C. D.(1,1,2) 解析　设PD=a,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E。所以=(0,0,a),=。又cos<,>=,所以=,解得a=2。所以点E的坐标为(1,1,1)。故选A。 5.在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为 (B) A. B. C. D.- 解析　 取BD的中点O,连接AO,OC,由CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,得AO⊥BD,CO⊥BD,且OC=,AO=1。在△AOC中,AC2=AO2+OC2,故AO⊥OC,又BD∩OC=O,BD,OC⊂平面BCD,所以AO⊥平面BCD,以OB,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),所以=(1,0,-1),=(-1,-,0),设异面直线AB与CD所成角为θ,则cos θ===,即异面直线AB与CD所成角的余弦值为,故选B。 6.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为 (C) A.(1,1,1) B. C. D. 解析　由已知得A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),设M(x,x,1),则=(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1)。设平面BDE的法向量为n=(a,b,c),则即解得令b=1,则平面BDE的一个法向量n=(1,1,)。又AM∥平面BDE,所以n·=0,即2(x-)+=0,解得x=,所以M。故选C。 二、多项选择题 7.有下列四个命题,其中不正确的命题有 (CD) A.已知A,B,C,D是空间任意四点,则+++=0 B.若两个非零向量与满足+=0,则∥ C.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量 D.对于空间的任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面 解析　对于A,已知A,B,C,D是空间任意四点,则+++=0,A正确;对于B,若两个非零向量与满足+=0,则∥,B正确;对于C,分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量是共面向量,C不正确;对于D,对于空间的任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R),当且仅当x+y+z=1时,P,A,B,C四点共面,故D错误。 8.已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则 (CD) A.与是共线向量 B.的单位向量是(1,1,0) C.与夹角的余弦值是- D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5) 解析　由题意,对于A,=(2,1,0),=(-1,2,1),因为≠λ,所以与不是共线向量,所以A不正确;对于B,因为=(2,1,0),所以的单位向量为,,0,所以B不正确;对于C,向量=(2,1,0),=(-3,1,1),所以cos<,>==-,所以C正确;对于D,设平面ABC的法向量是n=(x,y,z),因为=(2,1,0),=(-1,2,1),所以即令x=1,所以平面ABC的一个法向量为n=(1,-2,5),所以D正确,故选CD。 三、填空题 9.已知向量a=(-2,0,1),b=(1,2,x),若a⊥b,则x= 2 ;若