微练(四十二) 空间几何体的截面、球的接切问题-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(四十二)　空间几何体的截面、球的接切问题 基础过关 一、单项选择题 1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 (A) A.12π B.π C.8π D.4π 解析　设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2。设球的半径为R,则2R=2,即R=。所以球的表面积S=4πR2=12π。 2.一个圆柱的内切球的表面积为36π,则这个圆柱的表面积为 (C) A.45π B.27π C.54π D.36π 解析　设圆柱的内切球的半径为r,则4πr2=36π,可得r=3,所以该圆柱的底面圆半径为R=3,圆柱的高为h=2r=6,因此该圆柱的表面积为S=2πRh+2πR2=2π×3×6+2π×32=54π。故选C。 3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的表面积为 (A) A.16π B.20π C.24π D.32π 解析　 如图所示,在正四棱锥P⁃ABCD中,O1为底面对角线的交点,O为外接球的球心。VP⁃ABCD=×S正方形ABCD×3=6,所以S正方形ABCD=6,即AB=,所以O1C==。设正四棱锥外接球的半径为R,则OC=R,OO1=3-R,所以(3-R)2+()2=R2,解得R=2。所以外接球的表面积为4π×22=16π。 4.已知边长为2的等边三角形ABC,D为BC的中点,以AD为折痕,将△ABD折起,使∠BDC=90°,则过A,B,C,D四点的球的表面积为 (C) A.3π B.4π C.5π D.6π 解析　由题意,等边三角形ABC的边长为2,D为BC的中点,以AD为折痕,将△ABD折起,使∠BDC=90°,折后的图形可放到一个长方体中,其体对角线长为=,故其外接球的半径为,其表面积为5π。 5.(2023·河南名校联考)高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中,恰好被上底口(半径较大的圆)卡住,已知球心到垃圾篓底部的距离为5a,垃圾篓上底面直径为24a,下底面直径为18a,母线长为13a,则该篮球的表面积为 (D) A.154πa2 B.πa2 C.308πa2 D.616πa2 解析　 球卡在垃圾篓时,所得组合体的轴截面示意图如图所示,根据题意,得垃圾篓的高h==4a,所以球心到上底面的距离为5a-4a=a。设篮球的半径为r,则r2=10a2+(12a)2=154a2,故该篮球的表面积为4πr2=616πa2。故选D。 6.(2021·天津卷)两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上,若球的体积为,两个圆锥的高之比为1∶3,则这两个圆锥的体积之和为 (B) A.3π B.4π C.9π D.12π 解析　 如图所示,设两个圆锥的底面圆圆心为点D,设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1,即AD=3BD。设球的半径为R,则=,可得R=2,所以AB=AD+BD=4BD=4,所以BD=1,AD=3,因为CD⊥AB,∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°,所以∠CAD=∠BCD,又因为∠ADC=∠BDC,所以△ACD∽△CBD,所以=,所以CD==,因此,两个圆锥的体积之和为π×CD2·(AD+BD)=π×3×4=4π。故选B。 二、多项选择题 7.用一个平面截一个正方体,截面图形可以是 (ABCD) A.三角形 B.等腰梯形 C.五边形 D.正六边形 解析　如图所示。用一个平面去截正方体,截面图形可能是三角形、等腰梯形、五边形、正六边形,故选ABCD。 8.已知球O的半径为,则下列结论正确的是 (AD) A.球O的表面积为6π B.球O的内接正方体的棱长为1 C.球O的外切正方体的棱长为 D.球O的内接正四面体的棱长为2 解析　 球的表面积为4π×2=4π×=6π,A正确。正方体的体对角线长为2×=,棱长为=,B错误。球的外切正方体的棱长为2×=,C错误。将正四面体AB1CD1补形为正方体ABCD⁃A1B1C1D1如图所示,正方体的体对角线长为2×=,棱长为=,所以正四面体的棱长为×=2,D正确。故选AD。 9.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线段MN的最小值为-1,则下列说法中正确的是 (ABC) A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为 C.正方体的棱长为2 D.线段MN的最大值为2 解析　设正方体的棱长为a,则正方体外接球的半径为体对角线长的一半,即a;内切球的半径为棱长的一半,即。因为M,N分别为外接球和内切球上的动点,所以MNmin=a-=a=-1,解得a=2,即正方体的棱长为2,所以正方体外接球的表面积为4π×()2=12π,内切球体积为,故A,B,C正确。线段MN的最大值为+1,故D错误。 三、填空题 10.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个