微练(四十八) 用空间向量求空间角-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(四十八)　用空间向量求空间角 1.(2022·全国甲卷)在四棱锥P⁃ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=。 (1)证明:BD⊥PA; (2)求PD与平面PAB所成角的正弦值。 解　(1)证明:因为CD∥AB,AD=CB=1,DC≠AB,所以四边形ABCD是等腰梯形。如图,过点C作CE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AB于点F,则AF=BE=(AB-CD)=,CD=EF。又AD=1,所以DF==。又BF=EF+BE=,所以BD==。又AD=1,AB=2,所以AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD。 因为PD⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PD⊥BD。又AD∩PD=D,AD,PD⊂平面PAD,所以BD⊥平面PAD。因为PA⊂平面PAD,所以BD⊥PA。 (2)如图,以D为原点,DA,DB,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,),所以=(0,0,-),=(1,0,-),=(0,,-)。设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)。由得令z=1,得x=,y=1,则n=(,1,1)是平面PAB的一个法向量。设直线PD与平面PAB所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|===。所以PD与平面PAB所成角的正弦值为。 2.如图,四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,圆柱OQ的侧面积为6π,点P在圆柱OQ的底面圆周上,且△OPB是边长为 的等边三角形,点G是DP上一点。 (1)若G是DP的中点,求证:AG⊥BD; (2)若=2,求直线GB与平面ABCD所成角的正弦值。 解　 ① (1)证明:如图①,连接AP。因为点P在圆柱OQ的底面圆周上,所以AP⊥PB。因为四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,所以AD⊥平面APB,又PB⊂平面APB,所以AD⊥PB,又AD∩AP=A,AD,AP⊂平面APD,所以PB⊥平面APD,又AG⊂平面APD,所以PB⊥AG。因为△OPB是边长为的等边三角形,所以在Rt△APB中,∠BAP=30°,AP==3,因为圆柱的侧面积为6π,所以2π××AD=6π,可得AD=3,所以△DAP是等腰直角三角形,又G为DP的中点,所以AG⊥DP,又PB∩DP=P,PB,DP⊂平面PBD,所以AG⊥平面PBD,又BD⊂平面PBD,所以AG⊥BD。 (2) ② 如图②,过点A作AE⊥平面ABD,以A为原点,AE,AB,AD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz,则B(0,2,0),D(0,0,3),P,,0,由=2知G是DP上靠近点P的三等分点,所以G(1,,1),所以=(1,-,1)。易知平面ABCD的一个法向量为n=(1,0,0),所以|cos<n,>|===,所以直线GB与平面ABCD所成角的正弦值为。 3.(2023·武汉调研考试)在如图所示的多面体中,点E,F在矩形ABCD的同侧,直线ED⊥平面ABCD,平面BCF⊥平面ABCD,且△BCF为等边三角形,ED=AD=2,AB=。 (1)证明:AC⊥EF; (2)求平面ABF与平面ECF夹角的余弦值。 解　(1) 证明:如图,取BC的中点为M,连接FM,DM,因为△BCF为等边三角形,所以FM⊥BC。又平面BCF⊥平面ABCD,平面BCF∩平面ABCD=BC,FM⊂平面BCF,所以FM⊥平面ABCD。又ED⊥平面ABCD,所以ED∥FM,所以E,D,F,M四点共面。因为ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥ED。因为==,所以Rt△ADC∽Rt△DCM,可得AC⊥DM。又ED∩DM=D,ED,DM⊂平面EDMF,所以AC⊥平面EDMF。因为EF⊂平面EDMF,所以AC⊥EF。 (2)以D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,,0),F(1,,),E(0,0,2),C(0,,0)。所以=(0,,0),=(-1,0,),=(1,0,),=(0,-,2)。设平面ABF的法向量为n=(x1,y1,z1),则取z1=1,则n=(,0,1)是平面ABF的一个法向量。设平面ECF的法向量为m=(x2,y2,z2),则取z2=1,则m=(-,,1)是平面ECF的一个法向量。所以|cos<m,n>|===。所以平面ABF与平面ECF夹角的余弦值为。 4.(2022·新高考全国Ⅱ卷)如图,PO是三棱锥P⁃ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点。 (1)证明:OE∥平面PAC; (2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C⁃AE⁃B的正弦值。 解　(1)证明:连接OA。因为PO是三棱锥P⁃ABC的高,所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥