微练(四十) 数列的综合应用-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(四十)　数列的综合应用 一、单项选择题 1.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤。”意思是:现有一根金箠,长5尺,头部1尺,重4斤,尾部1尺,重2斤。若该金箠从头到尾,每一尺的质量构成等差数列,则该金箠共重为 (D) A.6斤 B.7斤 C.9斤 D.15斤 解析　设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{an},则有a1=4,a5=2,所以a1+a5=6,数列{an}的前5项和为S5=5×=5×3=15,即该金箠共重15斤。 2.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”上述问题中,两鼠在第几天相逢? (C) A.2 B.3 C.4 D.6 解析　不妨设大老鼠和小老鼠每天穿墙的厚度为数列{an}和{bn},则由题意可知,数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,数列{bn}是首项为1,公比为的等比数列,设前n天两鼠总共穿墙的厚度之和为Sn,则Sn=+=2n-n-1+1。当n=3时,S3=<10,当n=4时,S4=>10,故两只老鼠在第4天相逢。故选C。 3.(2023·宜昌测试)已知数列{an},若an+1=an+an+2(n∈N*),则称数列{an}为“凸数列”。已知数列{bn}为“凸数列”,且b1=1,b2=-2,则数列{bn}的前2 023项和为 (C) A.-4 B.-5 C.1 D.-1 解析　由“凸数列”的定义及b1=1,b2=-2,得b3=-3,b4=-1,b5=2,b6=3,b7=1,b8=-2,…,所以数列{bn}是周期为6的周期数列,且b1+b2+b3+b4+b5+b6=0,于是数列{bn}的前2 023项和等于b1=1。故选C。 4.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a11+2a6a8+a3a13=25,则a1a13的最大值是 (B) A.25 B. C.5 D. 解析　因为{an}是等比数列,且a1a11+2a6a8+a3a13=25,所以+2a6a8+=(a6+a8)2=25,又因为an>0,所以a6+a8=5,所以a1a13=a6a8≤2=,当且仅当a6=a8=时取等号。故选B。 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d>0,a6和a8是函数f(x)=ln x+x2-8x的两个极值点,则S8= (A) A.-38 B.38 C.-17 D.17 解析　由题得f'(x)=+x-8==(x>0),令f'(x)=0,得x=或x=。因为公差d>0,所以a6=,a8=,所以d==,所以a1=a6-5d=-17,所以S8==-38。故选A。 6.(2023·江苏百校大联考)定义“等方差数列”:如果一个数列从第二项起,每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数,那么这个数列叫做等方差数列,这个常数叫做该数列的方公差。设数列{an}是由正数组成的等方差数列,且方公差为4,a5=3,则数列的前24项和为 (C) A. B.3 C.3 D.6 解析　因为数列{an}是方公差为4的等方差数列,所以-=4,又=18,所以=+(n-5)×4=4n-2,又an>0,所以an=,所以===(-),所以数列的前24项和为×(-)+×(-)+…+×(-)=×(-)=×(7-)=3。故选C。 7.已知数列{an}的通项公式为an=-n2+10n-21,前n项和为Sn,若m>n(m,n∈N*),则Sm-Sn的最大值是 (B) A.5 B.10 C.15 D.20 解析　依题意,Sm-Sn=an+1+an+2+…+am,所以要使Sm-Sn的值最大,则an+1+an+2+…+am包含数列{an}中所有的正项。令an=-n2+10n-21>0,得3<n<7(n∈N*),所以n=4,5,6,所以Sm-Sn的最大值为a4+a5+a6=3+4+3=10。故选B。 二、填空题 8.随着科学技术的不断发展,人类通过计算机已找到了630万位的最大质数。陈成在学习中发现由41,43,47,53,61,71,83,97组成的数列中每一个数都是质数,他根据这列数的一个通项公式,得出了数列的后几项,发现它们也是质数。于是他断言:根据这个通项公式写出的数均为质数。请你写出这个通项公式 n(n-1)+41 ,从这个通项公式举出一个反例,说明陈成的说法是错误的,如n= 41 。  解析　由其规律知an=41+2+4+6+…+2(n-1)=n(n-1)+41,令n=41,得an=41×41=1 681不是质数。 9.已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,bn=log2(·),数列{bn}的前n项和为Tn,若Tn>1 024,则正整数n的最小值是 9 。  解析　因为数列{an}的