微练(四) 等式性质与不等式性质-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(四)　等式性质与不等式性质 基础过关 一、单项选择题 1.已知M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则M,N的大小关系是 (A) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 解析　因为M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,所以M>N。故选A。 2.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.2]=1,[-2.5]=-3。若[x-2]=-1,则x的取值范围为 (D) A.0<x≤1 B.0≤x<1 C.1<x≤2 D.1≤x<2 解析　由题意得解得1≤x<2,故选D。 3.若a,b∈R,则“a+b>4”是“a,b中至少有一个大于2”的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当a+b>4时,假设a,b都不大于2,即a≤2,b≤2,则a+b≤4,这与a+b>4矛盾,所以“a+b>4”是“a,b中至少有一个大于2”的充分条件;反之,当a,b中至少有一个大于2时,a+b>4不一定成立,如a=3,b=1时,a+b=4,所以“a+b>4”不是“a,b中至少有一个大于2”的必要条件。故选A。 4.“0<a<b”是“a-<b-”的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为y=x-在(-∞,0)和(0,+∞)上均为增函数,所以当0<a<b时,a-<b-,充分性成立;当a-<b-时,(a-b)<0,不一定可以推出0<a<b,如a=-5,b=-2,(a-b)<0,但a<b<0,必要性不成立,所以“0<a<b”是“a-<b-”的充分不必要条件。故选A。 5.(2023·重庆月考)已知a>b,则下列不等式中一定成立的是 (D) A.< B.a2>b2 C.ln a>ln b D.2a-b>1 解析　对于A,当a=1,b=-1时,>,故错误;对于B,当a=1,b=-1时,a2=b2,故错误;对于C,当0>a>b时,ln a,ln b无意义,故错误;对于D,由a>b,得a-b>0,则2a-b>1,故正确。故选D。 6.(2023·杭州模拟)若<<1,则下列各式中一定成立的是 (C) A.ln(a-b)>0 B.2b-a>1 C.->- D.logca>logcb(c>0且c≠1) 解析　指数函数y=在(-∞,+∞)上单调递减,由<<1,可知a>b>0。所以<,->-,故C正确;a-b>0,但不一定有a-b>1,所以不一定有ln(a-b)>0,故A错误;函数y=2x在(-∞,+∞)上单调递增,b-a<0。则2b-a<20=1,故B错误;当0<c<1时,函数y=logcx在(0,+∞)上单调递减,则logca<logcb,故D错误。 二、多项选择题 7.已知a>b>c,则下列不等式一定成立的是 (AD) A.a+b>2c B.a-b>b-c C.ac>bc D.< 解析　根据a>b>c,取a=1,b=0,c=-1,则可排除BC。因为a+b-2c=a-c+b-c>0,所以a+b>2c;因为-=<0,所以<,故选AD。 8.(2023·沈阳一模)设x>0,x,y∈R,则下列命题正确的是 (BCD) A.若x>y,则x>|y| B.若x<y,则x<|y| C.若x≥|y|,则x+y≥|x+y| D.若x>y,则x+|y|≥|x+y| 解析　对于A,当x>0,y<0且|y|>|x|时,满足x>y,但此时x<|y|,故A不正确。对于B,因为y>x>0,所以x<|y|,故B正确。对于C,由x≥|y|,得结合x>0得x+y≥0,所以x+y=|x+y|,故C正确。对于D,当x>y≥0时,x+|y|=x+y=|x+y|;当x>0>y时,x+|y|>|x+y|。综上,x+|y|≥|x+y|,故D正确。故选BCD。 三、填空题 9. < (填“>”“<”或“=”)。  解析　分母有理化有=+2,=+,显然+2<+,所以<。 10.已知c>10,M=-,N=-,则M,N的大小关系是 M<N 。  解析　因为M=-=,N=-=,又c>10,所以+>+>0,所以<,即M<N。 11.A杯中有浓度为a%的盐水x克,B杯中有浓度为b%的盐水y克,其中A杯中的盐水更咸一些。若将A,B两杯盐水混合在一起,其咸淡的程度可用不等式表示为 b<<a 。  解析　根据题意,将A,B两杯盐水混合在一起的浓度为,因为A杯中的盐水更咸一些,所以a%>b%,因为-a%=<0,-b%=>0,所以b%<<a%,即b<<a。 四、解答题 12.已知a+b>0,试比较+与+的大小。 解　+-+=+=(a-b)·-=。因为a+b>0,(a-b)2≥0,所以≥0。所以+≥+。 13.(1)若bc-ad≥0,bd>0,求证:≤