微练(三十一) 平面向量的基本定理及坐标表示-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(三十一)　平面向量的基本定理及坐标表示 基础过关 一、单项选择题 1.若{e1,e2}是平面α内的一个基底,则下列四组向量能作为平面α的一个基底的是 (B) A.{e1-e2,e2-e1} B.{e1+e2,e1-e2} C.{2e2-3e1,-6e1+4e2} D.2e1+e2,e1+e2 解析　由{e1,e2}是平面α内的一个基底,则e1,e2为非零不共线向量,对A,e1-e2=-(e2-e1),故e1-e2,e2-e1共线,不满足题意;对B,e1+e2,e1-e2不能互相线性表示,故不共线,满足题意;对C,2e2-3e1=(-6e1+4e2),故2e2-3e1,-6e1+4e2共线,不满足题意;对D,2e1+e2=2,故2e1+e2,e1+e2共线,不满足题意。故选B。 2.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量= (A) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 解析　根据题意得=(3,1),所以=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4)。故选A。 3.已知p:x=-1,q:向量a=(1,x)与b=(x+2,x)共线,则p是q的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若向量a=(1,x)与b=(x+2,x)共线,则x=x(x+2),解得x=0或x=-1,所以p:x=-1是q的充分不必要条件。故选A。 4.(2023·湖北八校联考)已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),若λa-b与b垂直,则λ= (D) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析　由已知得λa-b=(λ-4,-3λ+2),因为λa-b与b垂直,所以(λa-b)·b=0,即(λ-4,-3λ+2)·(4,-2)=0,所以4λ-16+6λ-4=0,解得λ=2,故选D。 5.已知向量a=(0,2),b=(2,x),且a与b的夹角为,则x= (B) A.-2 B.2 C.1 D.-1 解析　由题意得cos===,则2x=,解得x=2或x=-2(舍去)。 6.△ABC是等腰直角三角形,AB=BC=4,=(+),=x+y,其中2x+y=1,则·的最小值是 (B) A.- B.- C.-3 D.-4 解析　 由=(+)知点D为AB的中点。所以·=(+)·(+)=||2-4,设F为AD的中点。由=x+y得=2x+y,因为2x+y=1,所以点E在直线CF上,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,4),B(0,0),C(4,0),D(0,2),F(0,3),则DE⊥CF时,||2的值最小,直线CF的方程为+=1,即3x+4y-12=0,此时,由点到直线的距离公式可得||==,所以·的最小值为-4=-。故选B。 二、多项选择题 7.(2023·黄冈一模)已知向量a=(3,m),b=(n,1),若a-2b=(-1,-6),则下列结论中正确的是 (ABC) A.|b|=|a| B.(5a-2b)⊥b C.cos<b,a-b>=- D.a∥(3a+2b) 解析　由题意得,a-2b=(3-2n,m-2)=(-1,-6),所以m=-4,n=2,故a=(3,-4),b=(2,1)。对于A,|b|==,|a|==5,所以|b|=|a|,故A正确;对于B,5a-2b=(11,-22),则(5a-2b)·b=11×2-22×1=0,所以(5a-2b)⊥b,故B正确;对于C,a-b=(1,-5),所以cos<b,a-b>===-,故C正确;对于D,3a+2b=(13,-10),3×(-10)-(-4)×13=22≠0,故D错误。故选ABC。 8.(2023·潍坊一模)已知向量=(1,2),将绕原点O旋转-30°,30°,60°到,,的位置,则 (ABC) A.·=0 B.||=|| C.·=· D.点P1的坐标为 解析　根据题意得与的夹角为90°,故·=0,A正确;连接PP1,PP2,因为△OPP1≌△OPP2,所以PP1=PP2,即||=||,故B正确;因为<,>=60°,<,>=60°,||=||=||=||,所以·=·,故C正确;若点P1的坐标为,则||=≠||=,故D不正确。故选ABC。 三、填空题 9.(2022·全国甲卷)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)。若a⊥b,则m= - 。  解析　由a⊥b,可得a·b=(m,3)·(1,m+1)=m+3m+3=0,所以m=-。 10.(2023·石家庄质检)向量a,b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,则a·b= -5 。  解析　根据a,b在正方形网格中的位置关系,如图,在平面直角坐标系中,a=(-1,2),b=(-1,-3),所以a·b=1-6=-5。 11.已知向量b=(1,),向量a满