微练(三十五) 复数-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(三十五)　复数 基础过关 一、单项选择题 1.若为实数,则实数a的值为 (B) A.2 B.- C. D.-2 解析　==+i,因为为实数,所以=0,解得a=-。故选B。 2.在复平面内的共轭复数对应的点在 (A) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　因为====-i,所以其共轭复数为+i,+i在复平面内对应的点为,位于第一象限。故选A。 3.(2022·全国甲卷)若z=-1+i,则= (C) A.-1+i B.-1-i C.-+i D.--i 解析　因为z=-1+i,所以===-+i。故选C。 4.(2022·北京卷)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|= (B) A.1 B.5 C.7 D.25 解析　由i·z=3-4i,得z====-4-3i,所以|z|==5。故选B。 5.(2022·浙江卷)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则 (B) A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3 解析　由a+3i=(b+i)i,得a+3i=-1+bi,所以a=-1,b=3。故选B。 6.若f(α)=cos α+i·sin α(i为虚数单位),则[f(α)]2= (B) A.f(α) B.f(2α) C.2f(α) D.f(α2) 解析　因为f(α)=cos α+i·sin α,所以[f(α)]2=(cos α+i·sin α)2=cos2α+2i·sin αcos α+i2·sin2α=cos 2α+i·sin 2α=f(2α)。故选B。 7.设复数z满足|z-2i|=1,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是 (D) A.1 B. C. D.3 解析　解法一:由题意可知,在复平面内复数z对应的点为复平面内一动点到定点(0,2)距离为1的点的集合,即以(0,2)为圆心,1为半径的圆,圆心(0,2)到原点的距离为2,所以圆上任一点到原点的距离的最大值为2+1=3。故选D。 解法二:设复数z=x+yi(x,y∈R),则x2+(y-2)2=1,所以-1≤y-2≤1,即1≤y≤3,所以x2+y2=4y-3≤9,所以≤3,即在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是3。故选D。 8.复数z满足|z+1-i|=|z|,若z在复平面内对应的点为(x,y),则 (A) A.x-y+1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D.x+y-1=0 解析　解法一:因为复数z在复平面内对应的点为(x,y),所以z=x+yi,所以z+1-i=(x+1)+(y-1)i,又|z+1-i|=|z|,所以=,整理得x-y+1=0。故选A。 解法二:因为复数z在复平面内对应的点为Z(x,y),所以z=x+yi,则|z+1-i|=|z-(-1+i)|,|z-(-1+i)|的几何意义为点Z(x,y)到点A(-1,1)的距离,|z|的几何意义为点Z(x,y)到原点O的距离,又|z+1-i|=|z|,即|ZA|=|ZO|,所以点Z(x,y)的轨迹为线段AO的垂直平分线,又kAO=-1,线段AO中点的坐标为,所以线段AO的垂直平分线的方程为y-=x+,即x-y+1=0。故选A。 二、多项选择题 9.(2023·武汉市调研考试)已知两个复数z1,z2满足z1z2=i,且z1=1-i,则下面说法正确的是 (ABD) A.z2= B.|z1|= C.|z1+z2|≥2 D.=-i 解析　因为z1z2=i,z1=1-i,所以z2==,故A正确;|z1|==,|z2|==,所以|z1|=,故B正确;因为|z1+z2|==<2,故C错误;=(1+i)×=-i,故D正确。故选ABD。 10.(2023·潍坊市核心素养测评)已知复数z满足|z|=|z-1|=1,且复数z对应的点在第一象限,则下列结论正确的是 (BC) A.复数z的虚部为i B.=-i C.z2=z-1 D.复数z的共轭复数为-+i 解析　设z=a+bi(a,b∈R,且a,b>0),因为|z|=|z-1|=1,即|a+bi|=|(a-1)+bi|=1,所以解得a=,b=,所以z=+i。对于A,复数z的虚部为,A不正确;对于B,===-i,故B正确;对于C,因为z2=+i2=+i-=-+i,z-1=+i-1=-+i,所以z2=z-1,故C正确;对于D,=-i,故D不正确。 三、填空题 11.i是虚数单位,复数= 3-2i 。  解析　解法一:依题意得===3-2i。 解法二:设=x+yi,其中x,y∈R,则(2+i)·(x+yi)=8-i,即(2x-y)+(2y+x)i=8-i,因此解得即=3-2i。 12.已知复数z=,a∈R。若z为纯虚数,则a= 1 。  解析　z===[(a-1)+(1+a)i]为纯虚数,所以所以