微练(三十四) 余弦定理、正弦定理的综合应用-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(三十四)　余弦定理、正弦定理的综合应用 基础过关 一、单项选择题 1.在相距2 km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为 (A) A. km B. km C. km D.2 km 解析　 如图,在△ABC中,由已知可得∠ACB=180°-75°-60°=45°,由正弦定理得=,所以AC=2×=(km)。 2.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),然后给出了三种测量方案:①测量A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a,则一定能确定A,B间的距离的所有方案的序号为 (D) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 解析　对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A,B两点间的距离,对于②直接利用余弦定理即可确定A,B两点间的距离。 3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,c=4,设AB边上的高为h,则h= (D) A. B. C. D. 解析　由余弦定理,得cos A====,则sin A====,则h=ACsin A=bsin A=3×=。 4.(2023·重庆市调研)如图,圭表是我国古代通过测量正午日影长度来确定节令的仪器,也是指导劳动人民农事活动的重要依据。它由“圭”和“表”两个部件组成,圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板,表是与圭垂直的杆,正午时太阳照在表上,通过测量此时表在圭上的影长来确定节令。已知冬至和夏至正午时,太阳光线与圭所在平面所成的角分别为α,β,测得表影长之差为l,那么表高为 (C) A. B. C. D. 解析　 根据题意作出示意图,如图,∠ABC=90°,∠ADB=α,∠ACB=β,CD=l, 解法一:∠CAD=β-α,在△ACD中,由正弦定理=,得AC=。在Rt△ABC中,AB=AC·sin β===。故选C。 解法二:在Rt△ABC中,tan β=,则BC=。在Rt△ABD中,tan α=,则BD=。因为BD-BC=l,所以-=l,解得AB=。故选C。 5.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A= (C) A. B. C.- D.- 解析　设△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,由题意可得a=csin =c,则a=c。在△ABC中,由余弦定理可得b2=a2+c2-ac=c2+c2-3c2=c2,则b=c。由余弦定理,可得cos A===-。故选C。 6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c。若asin A+2csin C=2bsin Ccos A,则角A的最大值为 (A) A. B. C. D. 解析　由正弦定理可得a2+2c2=2bccos A,根据余弦定理得b2+c2-2bccos A+2c2=2bccos A,整理得4bccos A=b2+3c2≥2bc,所以cos A≥,又A∈(0,π),所以0<A≤。故选A。 二、多项选择题 7.(2023·重庆市高三质量调研)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°,距离12海里,灯塔C在A的北偏西30°,距离为12海里,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向。下列选项正确的有 (ABD) A.AD=24 B.CD=12 C.∠CDA=60°或∠CDA=120° D.∠CDA=60° 解析　 如图,在△ABD中,∠B=45°,由===24,得AD=24,A正确;在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC×ADcos 30°=(12)2+242-2×12×24×=144,所以CD=12,B正确;由正弦定理=,得sin∠CDA=,故∠CDA=60°或∠CDA=120°,因为AD>AC,故∠CDA为锐角,所以∠CDA=60°,D正确,C错误。 8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=ccos A,角A的平分线交BC于点D,AD=1,cos A=,则以下结论正确的是 (ACD) A.AC= B.AB=8 C.= D.△ABD的面积为 解析　 如图,在△ABC中,根据余弦定理得,cos A==,即b2+a2=c2,所以C=,由二倍角公式得cos∠BAC=2cos2∠CAD-1=,解得cos∠CAD=。在Rt△ACD中,AC=ADcos∠CAD=,故选项A正确;在Rt△ABC中,cos∠BAC==,解得AB=6,故选项B错误;==,则==,故选项C正确;在△ABD中,由cos∠BAD=,得sin∠BAD=,所以S△ABD=AD·AB·sin∠BAD=×1×6×=,故选项D正确。 三、填空题 9.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个