微练(三十三) 余弦定理和正弦定理-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(三十三)　余弦定理和正弦定理 基础过关 一、单项选择题 1.在△ABC中,a=1,b=3,c=3,则cos B= (A) A. B. C. D. 解析　由余弦定理知cos B==。 2.(2022·全国百校联考)已知在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b是方程x2-3x+2=0的两个实数根,且△ABC的面积为,则C的大小是 (D) A.45° B.60° C.60°或120° D.45°或135° 解析　根据题意,得ab=2,则×2×sin C=,解得sin C=,则C=45°或C=135°。 3.在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c等于 (B) A. B. C.6 D.5 解析　因为sin A=6sin B,由正弦定理可得a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1,因为C=60°,所以c2=a2+b2-2abcos C,即c2=62+12-2×1×6×,解得c=。 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c若tan A∶tan B=a∶b,则△ABC的形状一定是 (A) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 解析　因为tan A∶tan B=a∶b,所以btan A=atan B。根据正弦定理得=。因为0<A<π,0<B<π,所以sin A≠0,sin B≠0,所以cos A=cos B,即A=B,故△ABC是等腰三角形。 5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,sin A=2sin C,cos A=-,则△ABC的面积S= (D) A. B.2 C.1 D. 解析　解法一:由sin A=2sin C,结合正弦定理可得a=2c,因为a=4,所以c=2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得16=b2+4-2×2b×-,解得b=3或b=-4(舍)。又A∈(0,π),所以sin A>0,sin A==,所以△ABC的面积S=bcsin A=。故选D。 解法二:由sin A=2sin C,结合正弦定理可得a=2c,因为a=4,所以c=2。因为A∈(0,π),cos A=-,所以sin A==,所以sin C=sin A=。由cos A=-<0,得A∈,π,所以C∈0,,cos C==,所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以△ABC的面积S=acsin B=。故选D。 6.在△ABC中,D为BC边上一点,DC=2BD,AD=,∠ADC=45°。若AC=AB,则BD等于 (C) A.2+ B.4 C.2+ D.3+ 解析　由题意,设BD=x,x>0,则DC=2x。在△ADC中,由余弦定理可得AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos 45°,即AC2=2+4x2-2××2x×=2+4x2-4x。同理,在△ADB中,由余弦定理可得AB2=2+x2+2x。又AC=AB,所以2+4x2-4x=2(2+x2+2x),即x2-4x-1=0,解得x=2+,所以BD=2+。 二、多项选择题 7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。若asin A=4bsin B,ac=(a2-b2-c2),则下列选项正确的是 (ACD) A.a=2b B.cos A= C.sin B= D.△ABC为钝角三角形 解析　因为asin A=4bsin B,所以a2=4b2,所以a=2b,故A正确;因为ac=(a2-b2-c2)=·(-2bccos A),且a=2b,所以2bc=-2bccos A,所以cos A=-,故B错误;因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以sin A==,又因为a=2b,所以sin A=2sin B,所以sin B=,故C正确;由cos A=-<0可知A∈,所以△ABC为钝角三角形,故D正确。故选ACD。 8.(2023·福建部分学校联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,有如下结论,其中正确的有 (ACD) A.若b2=ac,B=60°,则△ABC是等边三角形 B.若sin22A=sin22B,则△ABC是等腰三角形 C.若cos2A+sin2B+sin2C<1,则△ABC是钝角三角形 D.若a=4,b=2,B=25°,则这样的三角形有2个 解析　对于A,因为在△ABC中,b2=ac,B=60°,所以由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,所以ac=a2+c2-ac,所以(a-c)2=0,得a=c,所以△ABC为等腰三角形,由B=60°可得△ABC为等边三角形,故A正确;对于B,若A=60°,B=30°,则△ABC不是等腰三角形,故B错误;对于C,若cos2A+sin2B+sin2C<