微练(三十六) 数列的概念-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(三十六)　数列的概念 基础过关 一、单项选择题 1.数列{an}的前几项为,3,,8,,…,则此数列的通项公式可能是 (A) A.an= B.an= C.an= D.an= 解析　数列为,,,,,…,其分母为2,分子可表示为1+5(n-1)=5n-4,因此通项公式可能为an=。 2.在数列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),则a5等于 (D) A. B. C. D. 解析　a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=3,a5=1+=。 3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an-2,则a6= (B) A.0 B.1 C.2 D.6 解析　因为a1=1,an+1=3an-2,所以a2=1,a3=1,a4=1,a5=1,a6=1。故选B。 4.(2023·高三学业质量评价T8联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,则“an>0”是“{Sn}是递增数列”的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若an>0,则Sn>Sn-1,所以{Sn}是递增数列,所以“an>0”是“{Sn}是递增数列”的充分条件;若{Sn}是递增数列,则Sn>Sn-1,所以an>0(n≥2),但是a1的符号不确定,所以 “an>0”不是“{Sn}是递增数列”的必要条件,故选A。 5.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+2n,n∈N*,则a4等于 (C) A.64 B.56 C.32 D.24 解析　由an+1=2an+2n,得-=,而=,所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以=+(n-1)×=,所以an=n·2n-1,所以a4=4×24-1=32。 6.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*),此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用。若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an},则数列{an}的前2 023项的和为 (C) A.674 B.673 C.1 349 D.2 021 解析　由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,各项除以2的余数,可得{an}为1,1,0,1,1,0,1,1,0,…,所以{an}是周期为3的数列,一个周期中三项和为1+1+0=2,又2 023=674×3+1,所以数列{an}的前2 023项的和S2 023=674×2+1=1 349。 二、多项选择题 7.下列四个命题中,正确的有 (ABD) A.数列的第k项为1+ B.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,n∈N*,则-8是该数列的第7项 C.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为an=2n-1 D.数列{an}的通项公式为an=,n∈N*,则数列{an}是递增数列 解析　对于A,数列的第k项为1+,A正确;对于B,令n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去),B正确;对于C,将3,5,9,17,33,…的各项减去1,得2,4,8,16,32,…,设该数列为{bn},则其通项公式为bn=2n(n∈N*),因此数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为an=bn+1=2n+1(n∈N*),C错误;对于D,an==1-,则an+1-an=-=>0,因此数列{an}是递增数列,D正确。故选ABD。 8.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则下列结论正确的是 (AD) A.+3为等比数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4 解析　因为an+1=,所以==+3,所以+3=2+3,且+3=4≠0,所以+3是以4为首项,2为公比的等比数列,即+3=4×2n-1,所以=2n+1-3,可得an=,故选项A正确,选项B不正确;因为=2n+1-3单调递增,所以an=单调递减,即{an}为递减数列,故选项C不正确;的前n项和Tn=(22-3)+(23-3)+…+(2n+1-3)=(22+23+…+2n+1)-3n=22×-3n=2n+2-3n-4。故选项D正确。 三、填空题 9.正项数列{an}满足anan+2=,n∈N*。若a5=,a2a4=1,则a2的值为 3 。  解析　因为anan+2=,an>0,所以=,所以正项数列{an}是等比数列,所以a2a4=a1a5=1,又a5=,所以a1=9,设{an}的公比为q,则q4==,解得q=或q=-(舍去),所以a2=a1q=3。 10.已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,且满足2an+1+Sn=2(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=  。