微练(三十二) 平面向量在平面几何、物理中的应用-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(三十二)　平面向量在平面几何、物理中的应用 基础过关 一、单项选择题 1.已知向量a=,b=cos ,sin ,则|a-b|= (C) A.1 B. C. D. 解析　因为a-b=cos -cos ,sin -sin =(,0),所以|a-b|=。故选C。 2.在水流速度10 km/h的自西向东的河中,如果要使船以10 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸,则船出发时行驶速度的方向和大小为 (A) A.北偏西30°,20 km/h B.北偏西60°,10 km/h C.北偏东30°,10 km/h D.北偏东60°,20 km/h 解析　 如图,船从点O出发,沿方向行驶才能垂直到达对岸,||=10,||=10,则||==20,则cos∠BOC==,因为∠BOC为锐角,故∠BOC=30°,故船以20 km/h的速度,以北偏西30°的方向行驶,才能垂直到达对岸。故选A。 3.(2023·福州市诊断性联考)已知a,b是不共线的两个单位向量,则a+b与a-b的夹角是 (D) A. B. C. D. 解析　 设=a,=b,作平行四边形OACB,则=a+b,=a-b。因为|OA|=|OB|=1,所以四边形OACB为菱形,则OC⊥AB,所以a+b与a-b的夹角为。故选D。 4.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P的轨迹一定经过 (C) A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心 C.△ABC的重心 D.AB边的中点 解析　取AB的中点D,则2=+,因为=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],所以=[2(1-λ)+(1+2λ)]=+,而+=1,所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心。 5.在△ABC中,||=3,||=2,=+,则直线AD通过△ABC的 (D) A.重心 B.外心 C.垂心 D.内心 解析　因为||=3,||=2,所以||=||=。设=,=,则||=||。因为=+=+,所以AD平分∠EAF,所以AD平分∠BAC,所以直线AD通过△ABC的内心。 6.在△ABC中,若=·+·+·,则△ABC是 (A) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析　由=·+·+·,得·-+·+·=·(-)+·(+)=·+·=·=0,所以AC⊥BC,所以△ABC是直角三角形。故选A。 二、多项选择题 7.如图,已知半圆O上有一个动点C,F是AC上靠近点C的三等分点,且OC与BF交于点E,则下列结论正确的是 (ABD) A.=+ B.=- C.=+ D.=-+ 解析　对于A选项,取AF的中点H,连接OH,因为O是AB的中点,所以在△ABF中,OH∥BF,所以OH∥EF。因为F是靠近C的三等分点,所以F是HC的中点,从而E是CO的中点,所以=(+)=+,A正确;对于B选项,==(-)=-,B正确;对于C选项,=-=-=(+)-=-+,C错误;对于D选项,=-=-+=-,D正确。 8.(2023·沈阳市联考)已知向量a=(1,sin θ),b=(cos θ,),则下列命题正确的是 (BD) A.存在θ,使得a∥b B.当tan θ=-时,a与b垂直 C.对任意θ,都有|a|≠|b| D.当a·b=-时,a在b上的投影向量的模为 解析　对于A选项,若a∥b,则1×-sin θcos θ=0,又sin θcos θ=sin 2θ∈,所以方程1×-sin θcos θ=0无解,即不存在θ,使得a∥b,所以A不正确;对于B选项,若a⊥b,则cos θ+sin θ=0,即tan θ=-,所以B正确;对于C选项,|a|=,|b|=,当θ=时,|a|=|b|=,所以C不正确;对于D选项,令a·b=cos θ+sin θ=sin(θ+φ)=-,其中sin φ=,cos φ=,则θ+φ=2kπ-,k∈Z,所以|b|===,a在b上的投影向量的模为==,所以D正确。 三、填空题 9.一物体在力F的作用下,由点A(20,15)移动到点B(7,0)。已知F=(4,-5),则F对该物体做的功为 23 。  解析　因为A(20,15),B(7,0),所以=(-13,-15),所以W=·F=-13×4+(-15)×(-5)=23。 10.已知点P在正三角形ABC所确定的平面上,且满足++=,则△ABP的面积与△ABC的面积之比为 1∶3 。  解析　因为++==-,所以=-2,所以点P在边AC上,且AP=AC,所以点P到AB的距离等于点C到AB的距离的,故△ABP的面积与△ABC的面积之比为1∶3。 11.(2023·长沙一模)在边长为3的正方形ABCD中,以点A为圆心作单位圆,分别交AB,AD于E,F两点,点P是劣弧上一点,则·的取值范围为