微练(三十八) 等比数列-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(三十八)　等比数列 基础过关 一、单项选择题 1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于 (D) A.- B.-2 C.2 D. 解析　由题意知q3==,即q=。 2.(2023·郑州模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,a2=-8,a7=,则S6= (C) A.- B. C. D. 解析　设等比数列{an}公比为q,则a7=a2q5,又a2=-8,a7=,所以q=-,故a1=16,又Sn=,所以S6===。 3.设b∈R,数列{an}的前n项和Sn=3n+b,则 (C) A.{an}是等比数列 B.{an}是等差数列 C.当b=-1时,{an}是等比数列 D.当b≠-1时,{an}是等比数列 解析　当n=1时,a1=S1=3+b,当n≥2,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1,当b=-1时,a1=2适合an=2·3n-1,{an}为等比数列。当b≠-1时,a1不适合an=2·3n-1,{an}不是等比数列。 4.(2023·安庆模拟)某工厂生产A,B,C三种产品的数量刚好构成一个公比为q(q≠1)的等比数列,现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为260的样本进行调查,其中C产品的数量为20,则抽取的A产品的数量为 (C) A.100 B.140 C.180 D.120 解析　因为A,B,C三种产品的数量刚好构成一个公比为q的等比数列,C产品的数量为20,所以A产品的数量为,B产品的数量为,因为样本容量为260,所以++20=260,解得q=或q=-(舍去),则A产品的数量为==180。故选C。 5.(2023·沈阳市联考)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,正项等比数列{bn}满足b1=a1,b3=a4+1,则使b6+1≥Sn成立的n的最大值为 (D) A.5 B.6 C.7 D.8 解析　依题意,a1=S1=2,a4=S4-S3=(42+1)-(32+1)=7,所以b1=2,b3=8,所以bn=2n,则b6+1=26+1=65≥n2+1成立时,n的最大值为8。故选D。 6.如图,连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1,又连接△A1B1C1各边中点得到一个新的△A2B2C2,如此无限继续下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…,这一系列所有三角形的面积和趋向于一个常数。已知A(0,0),B(5,0),C(1,3),则这个常数是 (C) A. B.5 C.10 D.15 解析　依题意可得△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…的面积依次构成一个无穷等比数列,首项为△ABC的面积,公比为,前n个三角形的面积和为=101-n。当n趋向于无穷大时,前n个三角形的面积和趋向于常数10。故选C。 7.十七世纪法国数学家费马猜想形如“Fn=+1(n∈N)”的数都是质数,我们称Fn为“费马数”。设an=log2(Fn-1),bn=2log2an,n∈N*,数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,则下列不等关系一定成立的是 (D) A.an<bn B.an>bn C.Sn≤Tn D.Sn≥Tn 解析　因为an=log2(Fn-1)=log2=2n,所以bn=2log2an=2log22n=2n,所以a1=b1=2,a2=b2=4,所以排除A,B;数列{an}是首项与公比均为2的等比数列,所以Sn==2n+1-2,数列{bn}是首项与公差均为2的等差数列,所以Tn==n(n+1),所以S3=14,T3=12,S3>T3,所以排除C。故选D。 二、多项选择题 8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,则下列选项错误的是 (ACD) A.若S3=4,S6=12,则S9=29 B.若a1=1,q=,则Sn=4-3an C.若a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=-6 D.若a1=1,a5=4a3,则an=2n-1 解析　对于A,易知公比q≠-1,则可知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,又S3=4,S6-S3=12-4=8,所以S9-S6=16,所以S9=S6+16=12+16=28,A错误。对于B,因为a1=1,q=,所以an=n-1,Sn=,所以Sn==4-3an,B正确。对于C,由a5a6=a4a7,得a4a7=-8,又a4+a7=2,所以得a4=4,a7=-2,或a4=-2,a7=4,所以q3=-或q3=-2。当q3=-时,a1+a10=+a4q6=+4×-2=-7;当q3=-2时,a1+a10=+a4q6=+(-2)×(-2)2=-7,C错误。对于D,因为a1=1,a5=4a3,所以q4=4q2,得q=-2或q=2,所以an=(-2)n-1或an=2n-1,D错误。故选ACD。 9