微练(三十) 平面向量的数量积-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(三十)　平面向量的数量积 基础过关 一、单项选择题 1.在等腰直角三角形ABC中,若∠C=90°,AC=,则·的值等于 (B) A.-2 B.2 C.-2 D.2 解析　·=||||cos∠ABC=2××cos 45°=2。 2.在△ABC中,AB=2,AC=3,=2,=,则·= (C) A.- B. C.- D. 解析　令a=,b=,则|a|=2,|b|=3。由题意知=b-a,故=+=a+(b-a)=a+b,又=-=a-b,所以·=(a+2b)·(a-2b)=(a2-4b2)=×(4-4×9)=-。故选C。 3.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,那么|4a-b|= (C) A.2 B.6 C.2 D.12 解析　|4a-b|2=16a2+b2-8a·b=16×1+4-8×1×2×cos=12。所以|4a-b|=2。 4.已知△ABC的外接圆圆心为O,且2=+,||=||,则向量在向量上的投影向量为 (A) A. B. C.- D.- 解析　 由2=+知,O为BC的中点,根据题意作图,因为O为△ABC的外接圆圆心,所以OA=OB=OC,因为||=||,所以AB=OB=OA=OC,所以△AOB为正三角形,∠ABO=60°,所以在上的投影向量为=。故选A。 5.(2023·沈阳模拟)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则a-b与b的夹角为 (D) A. B. C. D. 解析　|a+b|=|a-b|=2|a|,等号左右同时平方,得|a+b|2=|a-b|2=4|a|2,即|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2-2a·b=4|a|2,所以a·b=0且|b|2=3|a|2,所以|a-b|===|b|,所以cos<a-b,b>===-,因为<a-b,b>∈[0,π],所以<a-b,b>=。 6.已知向量||=3,||=2,=m+n,若与的夹角为60°,且⊥,则实数的值为 (A) A. B. C.6 D.4 解析　因为向量||=3,||=2,=m+n,与的夹角为60°,所以·=3×2×cos 60°=3,又⊥,所以·=(-)·(m+n)=(m-n)·-m+n·=3(m-n)-9m+4n=-6m+n=0,所以=。故选A。 二、多项选择题 7.(2023·盐城模拟)下列关于向量a,b,c的运算,一定成立的有 (ACD) A.(a+b)·c=a·c+b·c B.(a·b)·c=a·(b·c) C.a·b≤|a|·|b| D.|a-b|≤|a|+|b| 解析　根据数量积的分配律可知A正确;选项B中,左边为c的共线向量,右边为a的共线向量,故B不正确;根据数量积的定义,可知a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a|·|b|,故C正确;|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=|a|2+|b|2-2|a||b|·cos<a,b>≤|a|2+|b|2+2|a||b|=(|a|+|b|)2,故|a-b|≤|a|+|b|。故D正确。 8.设a,b是两个非零向量,则下列命题为假命题的是 (ABD) A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 解析　对于A,若|a+b|=|a|-|b|,则|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2-2|a||b|,得a·b=-|a||b|≠0,a与b不垂直,所以A为假命题;对于B,由A解析可知,若a⊥b,则|a+b|≠|a|-|b|,所以B为假命题;对于C,若|a+b|=|a|-|b|,则|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2-2|a||b|,得a·b=-|a||b|,设向量a与b的夹角为θ,则cos θ=-1,则a与b反向,因此存在实数λ,使得b=λa,所以C为真命题;对于D,若存在实数λ,使得b=λa,则a·b=λ|a|2,-|a||b|=-|λ||a|2,由于λ不能等于0,因此a·b≠-|a||b|,则|a+b|≠|a|-|b|,所以D为假命题。故选ABD。 三、填空题 9.已知向量a,b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是  ,a·(a+b)= 6 。  解析　由题意,设向量a,b的夹角为θ,因为|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=|a|2-a·b=|a|2-|a||b|cos θ=3-2·cos θ=0,解得cos θ=。又因为0≤θ≤π,所以θ=,则a·(a+b)=|a|2+|a|·|b|·cos θ=3+2×=6。 10.已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R时,|e1+λe2|的最小值为,则|e1+e2|= 1或 。