微练(七十) 离散型随机变量及其分布列与数字特征-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(七十)　离散型随机变量及其分布列与数字特征 基础过关 一、单项选择题 1.已知随机变量ξ的分布列如下,且E(ξ)=6.3,则a的值为 (C) ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B.6 C.7 D.8 解析　由概率分布列性质,知0.5+0.1+b=1,所以b=0.4,所以E(ξ)=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3,所以a=7。 2.袋中装有10个红球、5个黑球。每次随机抽取1个球后,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止。设抽取的次数为ξ,则表示“放回5个红球”事件的是 (C) A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤5 解析　“放回5个红球”表示前五次抽到黑球,第六次抽到红球,故ξ=6。 3.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,若X的均值为E(X)=3,则a-b= (A) A. B.0 C.- D. 解析　由题意知(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1,又X的均值E(X)=3,则(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3,即30a+10b=3,所以a=,b=0,所以a-b=。 4.已知甲、乙两台自动车床生产同种标准件,X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数,经一段时间考察后,X,Y的分布列分别是 X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 P 0.5 0.3 0.2 据此判定 (A) A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 解析　E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2=0.7。由于E(Y)>E(X),故甲比乙质量好。 5.(2023·盐城模拟)泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家泊松首次提出。泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是泊松分布的均值。已知某种商品每周销售的件数相互独立,且服从参数为λ(λ>0)的泊松分布。若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等,则两周共销售2件该商品的概率为 (D) A. B. C. D. 解析　由题意,知P(X=1)=P(X=2),即×e-λ=×e-λ,解得λ=2,所以P(X=k)=e-2,所以两周共销售2件该商品的概率为2P(X=0)×P(X=2)+P(X=1)×P(X=1)=2e-2×e-2+e-2×e-2=。故选D。 6.(2023·南平模拟)某企业计划加大技改力度,需更换一台设备,现有两种品牌的设备可供选择,A品牌设备需投入60万元,B品牌设备需投入90万元,企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查: A品牌的使用年限 2 3 4 5 概率 0.4 0.3 0.2 0.1 B品牌的使用年限 2 3 4 5 概率 0.1 0.3 0.4 0.2 更换设备技改后,每年估计可增加效益100万元,从年均收益的角度分析 (C) A.不更换设备 B.更换为A品牌设备 C.更换为B品牌设备 D.更换为A品牌或B品牌设备均可 解析　设更换为A品牌设备使用年限为X,则E(X)=2×0.4+3×0.3+4×0.2+5×0.1=3,更换为A品牌设备年均收益为3×100-60=240(万元)。设更换为B品牌设备使用年限为Y,则E(Y)=2×0.1+3×0.3+4×0.4+5×0.2=3.7,更换为B品牌设备年均收益为3.7×100-90=280(万元)。280>240,所以更换为B品牌设备。 二、多项选择题 7.(2023·泰安期末)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有 (ACD) A.q=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4 C.E(X)=2,D(X)=1.8 D.E(Y)=5,D(Y)=7.2 解析　因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正确;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确。故选ACD。 8.已知随机变量ξ的分布列如下: ξ 0 1 2 P b-a b a