微练(六十六) 二项式定理-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(六十六)　二项式定理 基础过关 一、单项选择题 1.在2x+6的展开式中,含x4项的系数为 (B) A.160 B.192 C.184 D.186 解析　2x+6的展开式的通项Tr+1=(2x)6-rr=26-rx6-2r,当r=1时,T2=×25×x4=192x4,含x4项的系数为192。故选B。 2.化简2n-×2n-1+×2n-2+…+(-1)n-1×2= (D) A.1 B.(-1)n C.1+(-1)n D.1-(-1)n 解析　2n-×2n-1+×2n-2+…+(-1)n-1×2=×2n×(-1)0-×2n-1+×2n-2+…+(-1)n-1×2+(-1)n×20-(-1)n×20=(2-1)n-(-1)n=1-(-1)n。故选D。 3.的展开式中x2y3的系数是 (A) A.-20 B.-5 C.5 D.20 解析　的展开式的通项为Tr+1=x5-r·(-2y)r=··(-2)r·x5-r·yr。当r=3时,展开式中x2y3的系数为××(-2)3=-20。故选A。 4.在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32∶1,则x2的系数为 (C) A.50 B.70 C.90 D.120 解析　令x=1,则=4n,所以的展开式中各项系数和为4n,又二项式系数和为2n,所以=2n=32,解得n=5。二项展开式的通项Tr+1=x5-r=3r,令5-r=2,得r=2,所以x2的系数为32=90。故选C。 5.(2023·东北三校联考)已知(2x-1)4+(x+1)3=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a2= (C) A.9 B.24 C.27 D.33 解析　(2x-1)4=(1-2x)4,其展开式的通项为Tk+1=(-2x)k=(-2)kxk,(x+1)3=(1+x)3,其展开式的通项为Tr+1=xr。因为a2为x2的系数,所以令k=2,r=2,得a2=(-2)2+=24+3=27,故选C。 6.(2023·潍坊市核心素养测评)(250-1)除以7的余数是 (D) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　250-1=22×248-1=4×(23)16-1=4×(7+1)16-1,所以250-1=4×(716+715+…+7+)-1,展开式中前16项都是7的倍数,所以(250-1)除以7的余数为4×1-1=3。故选D。 7.(2023·汕头模拟)已知(2x-a)x+6的展开式中x2的系数为-240,则该展开式中的常数项为 (A) A.-640 B.-320 C.640 D.320 解析　x+6的展开式的通项为Tk+1=x6-k·k=·2k·x6-2k。令6-2k=2,得k=2;令6-2k=1,得k=(舍去)。故(2x-a)x+6的展开式中x2的系数为-a·22=-240,得a=4。令6-2k=-1,得k=,不符合题意,舍去;令6-2k=0,得k=3。故(2x-4)x+6的展开式中的常数项为-4××23=-640。 8.已知正整数n≥7,若(1-x)n的展开式中不含x4的项,则n的值为 (B) A.7 B.8 C.9 D.10 解析　因为n≥7,所以展开式中含x4的项为x(-x)3+(-x)5,即含x4的项的系数为-+,又展开式中不含x4的项,所以-+=0,即=,得n=3+5=8。故选B。 二、多项选择题 9.(2023·威海调研)若x2+6的展开式中x3的系数是-160,则 (ABC) A.a=- B.所有项系数之和为1 C.二项式系数之和为64 D.常数项为-320 解析　对选项A,x2+6的展开式中含x3的项为(x2)3·3,所以·3=-160,解得a=-,故A正确;对选项B,由A知x2+6=x2-6,令x=1,得所有项系数之和为(1-2)6=1,故B正确;对选项C,二项式系数之和为26=64,故C正确;对选项D,x2-6的常数项为(x2)2·-4=24=240,故D错误。 10.已知ax2+n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是 (BCD) A.展开式中奇数项的二项式系数和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15项的系数为45 解析　因为的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,所以=,得n=10。因为展开式中各项系数之和为1 024,所以令x=1,得(a+1)10=1 024,得a=1。故给定的二项式为,其展开式中奇数项的二项式系数和为×210=512,故A不正确。由n=10可知二项式系数最大的项是展开式的第6项,而的展开式的系数与对应的二项式系数相等,故B正确。展开式的通项为Tk+1=(x2)10-k·=(k=0,1,2,…,10),令20-=0,解得k=8,即常数项为第9