第三章 一元函数的导数及其应用-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微讲教师用书word（新教材新高考)

第三章 一元函数的导数及其应用 第一节　导数的概念、导数的运算 【课程标准】　1.了解导数概念的实际背景;2.体会极限思想;3.理解导数的几何意义;4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数。 主干知识整合 回扣知识·基础落实 【基础梳理】 　　1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数(瞬时变化率)记作f'(x0)或y',即f'(x0)==。 (2)函数y=f(x)的导函数为 f'(x)=。 2.导数的几何意义❶ 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)。 [微点清]　❶区分在点处的切线与过点处的切线:在点处的切线,该点一定是切点,切线有且仅有一条;过点处的切线,该点不一定是切点,切线至少有一条。 　　3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= 4.导数的运算法则 若f'(x),g'(x)存在,则有 [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x); [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x); '=(g(x)≠0)❷; [cf(x)]'=cf'(x)。 [微点清]　❷'=(f(x)≠0)。 　　5.复合函数的定义及其导数 (1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x))。 (2)一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=y'u·u'x。即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。 【小题演练】 基础题 1.若f(x)=ln(1-x)+e1-x,则f'(x)= -e1-x 。  2.已知函数f(x)=xln x+ax2+2,若f'(e)=0,则a= - 。  解析　由题意得f'(x)=1+ln x+2ax,所以f'(e)=2ae+2=0,所以a=-。 3.函数f(x)=ex+在x=1处的切线方程为 y=(e-1)x+2 。  解析　由题意得f'(x)=ex-,所以f'(1)=e-1,又f(1)=e+1,所以切点为(1,e+1),切线斜率k=f'(1)=e-1,故切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2。 易错题 4.(不能掌握复合函数的求导法则致误)已知函数y=sin 2x,则y'= 2cos 2x 。  解析　解法一:y'=(2sin xcos x)'=2(sin x)'cos x+2sin x(cos x)'=2cos2x-2sin2x=2cos 2x。 解法二:y'=cos 2x·(2x)'=2cos 2x。 5.(混淆f'(x0)与[f(x0)]'的区别致误)已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)= -8 。  解析　因为f'(x)=2x+3f'(2),令x=2,得f'(2)=-2,所以f(x)=x2-6x,于是f(2)=-8。 6.(混淆“在”与“过”的区别致误)已知函数f(x)=x3+x-16,若直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,则直线l的方程为 y=13x 。  解析　设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f'(x0)=3+1,所以直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16,因为直线l过原点,所以0=(3+1)(0-x0)++x0-16,整理得=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,f'(x0)=3×(-2)2+1=13。所以直线l的方程为y=13x。 关键能力突破 考向探究·题型剖析 　类型一　　导数的概念及运算 自练自悟 1.设函数y=f(x)在R上可导,则= (B) A.f'(1) B.f'(1) C.3f'(1) D.以上都不对 解析　因为函数y=f(x)在R上可导,所以==f'(1)。故选B。 2.现有一球形气球,在吹气过程中,气球的体积V(单位:L)与直径d(单位:dm)的关系式为V=,当d