微练(六十) 定点、定值问题-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(六十)　定点、定值问题 1.设F为椭圆C:+y2=1的右焦点,过点(2,0)的直线与椭圆C交于A,B两点。 (1)若点B为椭圆C的上顶点,求直线AF的方程; (2)设直线AF,BF的斜率分别为k1,k2(k2≠0),求证:为定值。 解　(1)若B为椭圆的上顶点,则B(0,1)。又直线AB过点(2,0),故直线AB:x+2y-2=0,由可得3y2-4y+1=0,解得y1=1,y2=,即点A,,又F(1,0),故直线AF的方程为y=x-1。 (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB的方程为x=ty+2,代入椭圆方程可得(2+t2)y2+4ty+2=0,Δ>0。所以y1+y2=,y1y2=。所以=-,即ty1y2=-。所以======-1,即为定值-1。 2.(2023·南通模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),四点M14,,M2(3,),M3-2,-,M42,中恰有三点在双曲线C上。 (1)求双曲线C的方程; (2)过点(3,0)的直线l交双曲线C于P,Q两点,过点P作直线x=1的垂线,垂足为A,证明:直线AQ过定点。 解　(1)因为点M3-2,-,M42,关于原点对称,所以M3,M4均在双曲线C上。又->-=1,所以点M1不在双曲线C上,所以M2,M3,M4在双曲线C上,所以解得所以双曲线C的方程为-y2=1。 (2)证明:①当直线l与x轴不重合时,设l:x=ty+3。由消去x并整理,得(t2-3)y2+6ty+6=0,所以即t2≠3。设P(x1,y1),Q(x2,y2),则点A(1,y1),y1+y2=-,y1y2=,直线AQ的方程为y-y1=(x-1),即y=(x-1)+。因为===-1,所以直线AQ的方程为y=(x-2),所以直线AQ过定点(2,0)。②当直线l与x轴重合时,直线AQ过定点(2,0)。综上,直线AQ过定点(2,0)。 3.已知圆M过点(1,0),且与直线x=-1相切。 (1)求圆心M的轨迹C的方程; (2)过点P(2,0)作直线l交轨迹C于A,B两点,点A关于x轴的对称点为A'(异于点B),过点P作PQ⊥A'B,垂足为Q,在平面内是否存在定点E,使得|EQ|为定值?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由。 解　(1)设M(x,y),由题意可知,=|x-(-1)|,化简得y2=4x,即轨迹C的方程为y2=4x。 (2)由题意可知直线l不与坐标轴平行,设直线l的方程为x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),则A'(x1,-y1),由消去x,得y2-4ty-8=0,Δ=16t2+32>0,则y1+y2=4t,y1y2=-8。直线A'B的方程为y-(-y1)=·(x-x1),即y=x--y1,亦即y=x-,将y1y2=-8代入,可得y=(x+2),所以直线A'B恒过点R(-2,0)。又QP⊥QR,所以点Q在以PR为直径的圆上,所以点Q到原点的距离为定值2,所以存在满足条件的定点E(0,0),使得|EQ|为定值。 4.(2023·合肥市质量检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C与y轴交于点A,B(点B在x轴下方),D(0,4),以BD为直径的圆过点E(-a,0)。 (1)求椭圆C的标准方程; (2)过D点且不与y轴重合的直线与椭圆C交于点M,N,设直线AN与BM交于点T,证明:点T在定直线y=1上。 解　(1)设椭圆C的半焦距为c,则a2=b2+c2　①,由题意得=,即a2=2c2　②。因为以BD为直径的圆过点E(-a,0),B(0,-b),D(0,4),所以EB⊥ED,所以·=0,即(a,-b)·(a,4)=0,所以a2-4b=0　③。由①②③可得a2=8,b2=4,所以椭圆C的标准方程为+=1。 (2)证明:由题意可知,直线MN的斜率存在,设其方程为y=kx+4,M(x1,y1),N(x2,y2)。由得(2k2+1)x2+16kx+24=0,Δ=(16k)2-4×24×(2k2+1)>0,即k2>。所以x1+x2=-,x1x2=。因为A(0,2),B(0,-2),所以直线AN的方程为y=x+2(x2≠0,-2<y2<2),直线BM的方程为y=x-2(x1≠0,-2<y1<2),由消去x,得(y-2)=·(y+2),解得y=。y-1=-1===0,所以y=1,所以点T在直线y=1上。 5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实半轴长为1,且C上的任意一点M到C的两条渐近线的距离的乘积为。 (1)求双曲线C的方程; (2)设直线l过双曲线C的右焦点F,与双曲线C相交于P,Q两点,问在x轴上是否存在定点D,使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直?若存在,求出定点D的坐标;若不存在,请说明理由。 解　(1)由题意可得a=1,所以双曲线C:x2