微练(二十五) 简单的三角恒等变换-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(二十五)　简单的三角恒等变换 基础过关 一、单项选择题 1.= (B) A. B.- C.-1 D.1 解析　依题意,原式==-×=-×=-。故选B。 2.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-3,4),则sin 2α= (A) A.- B.- C. D. 解析　由题意知sin α=,cos α=-,所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-。故选A。 3.若sin(α+β)=3sin(π-α+β),α,β∈,则= (A) A.2 B. C.3 D. 解析　因为sin(α+β)=3sin(π-α+β),所以sin αcos β=2cos αsin β,所以tan α=2tan β,即=2。故选A。 4.已知sin 2α=,则cos2= (D) A.- B. C.- D. 解析　因为sin 2α=,所以cos2α-====。故选D。 5.= (B) A.1 B. C. D. 解析　====。 6.已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则α+β等于 (C) A. B.或 C. D.2kπ+(k∈Z) 解析　由sin α=,cos β=,且α,β为锐角,可知cos α=,sin β=,故cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=,又0<α+β<π,故α+β=。 7.(2023·东北三校联考)若tan=2tan+x,则sin 2x= (C) A.- B. C.- D. 解析　因为tan=2tan+x,所以=2·,即(1-tan x)2=2(1+tan x)2,化简整理,得tan2x+6tan x+1=0。因为sin 2x=2sin x·cos x==,由tan2x+6tan x+1=0,得tan2x+1=-6tan x,所以sin 2x===-。故选C。 二、多项选择题 8.已知sin α=-,180°<α<270°,则下列选项正确的是 (BCD) A.sin 2α=- B.sin= C.cos=- D.tan=-2 解析　因为sin α=-,180°<α<270°,所以cos α=-,所以sin 2α=2sin αcos α=2×-×-=,故A错误。因为90°<<135°,所以sin===,cos=-=-=-,tan==-2,故BCD均正确。 9.已知f(x)=(1+cos 2x)sin2x(x∈R),则下列结论正确的是 (ABC) A.f(x)的最小正周期T= B.f(x)是偶函数 C.f(x)的最大值为 D.f(x)的最小正周期T=π 解析　因为f(x)=(1+cos 2x)(1-cos 2x)=(1-cos22x)=sin22x=(1-cos 4x),所以f(-x)=[1-cos 4(-x)]=(1-cos 4x)=f(x),T==,f(x)的最大值为×2=,故A,B,C正确,D错误。 三、填空题 10.计算= 2 。  解析　=-=-=-=2。 11.已知sin α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则β=  。  解析　因为α,β均为锐角,所以-<α-β<。又sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=。又sin α=,所以cos α=,所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=。所以β=。 12.(2023·石家庄市质检)已知角α∈0,,tan=,则α=  。  解析　tan==,整理得sincos α+cos=cossin α-sin,即sinα-=sin,因为α∈0,,所以α-∈-,,所以α-=,所以α=。 四、解答题 13.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P-,-。 (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值。 解　(1)由角α的终边过点P,得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=。 (2)由角α的终边过点P,得cos α=-,由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±。由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β=。 14.(2023·杭州模拟)已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x。 (1)求f的值; (2)若f=,α∈,求cos α的值。 解　(1)因为f(x)=2cos2x+2sin xcos x=1+cos 2x+sin 2x=1+2sin,所以f=1+2sin=1+2sin=1+1=2。 (2)由f=,α∈,得α+∈,,sin=,cosα+=,所以cos α=cosα+-=coscos+sinα+sin=。 综合应用 15.已知函数f(x)=sin2x+2sin