概率与统计 解答题专练-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

概率与统计　解答题专练 1.长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花,也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料。新疆某农科所为了研究不同土壤环境下长绒棉的品质,选取甲、乙两块试验田进行种植。在棉花成熟后采摘,分别从甲、乙两块试验田采摘的棉花中各随机抽取50份样本,测定其马克隆值,整理测量数据得到如下2×2列联表,其中a≥40且a∈N*: 单位:份　　　 土壤 环境 马克隆值级别 合计 A级或B级 C级 甲 a 50-a 50 乙 80-a a-30 50 合计 80 20 100 当a=a0时,有犯错误的概率不超过1%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关,求a0的最小值。 注:棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标,是棉纤维重要的内在质量指标之一。根据现行国家标准规定,马克隆值可分为A,B,C三个级别,A级品质最好,B级为标准级,C级品质最差。附:χ2=。 α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解　根据题中列联表中的数据可得,χ2==。因为当a=a0时,有犯错误的概率不超过1%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关,即根据小概率值α=0.01的独立性检验,认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关,所以χ2≥x0.01,即≥x0.01=6.635,解得a0≥40+或a0≤40-。因为a≥40且a∈N*,所以(a0)min=46。 2.(2023·沈阳市联考)为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情,某校举办了“我爱古诗词”对抗赛。在每轮对抗赛中,高二年级胜高三年级的概率为,高一年级胜高三年级的概率为,且每轮对抗赛的结果互不影响。 (1)若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛,求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率; (2)若高一年级与高三年级进行对抗赛,高一年级胜2轮就停止对抗赛,否则开始新一轮对抗赛,但对抗赛不超过5轮,求对抗赛轮数X的分布列与数学期望。 解　(1)由题意知,高三年级胜高二年级的概率为。设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出,“至少有3轮胜出”为事件A,则P(A)=P(x=3)+P(x=4)=3×+4=。 (2)由题意知,对抗赛轮数X的所有可能取值为2,3,4,5,则P(X=2)=2=,P(X=3)=××1-×=,P(X=4)=××1-2×=,P(X=5)=××1-3+1-4=,所以X的分布列为 X 2 3 4 5 P E(X)=2×+3×+4×+5×=。 3.(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局。三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军。已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立。 (1)求甲学校获得冠军的概率; (2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望。 解　(1)设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A,B,C,易知事件A,B,C相互独立。甲学校获得冠军,对应事件A,B,C同时发生,或事件A,B,C中有两个发生,故甲学校获得冠军的概率为P(ABC+BC+AC+AB)=P(ABC)+P(BC)+P(AC)+P(AB)=0.5×0.4×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4×(1-0.8)=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6。 (2)由题意得,X的所有可能取值为0,10,20,30。易知乙学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.6,0.2,则P(X=0)=(1-0.5)×(1-0.6)×(1-0.2)=0.16,P(X=10)=0.5×(1-0.6)×(1-0.2)+(1-0.5)×0.6×(1-0.2)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.2=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×(1-0.2)+0.5×(1-0.6)×0.2+(1-0.5)×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06,所以X的分布列为 X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 则E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13。 4.(2023·重庆市调研)2020年8月,国家体育总局、教育部联合印发《关于深化体教融合 促进青少年健康发展的意见》,某校积极响应国家号召,组织全校学生加强实心球项目训练,规定该校男生投掷实心球6.9米达标,女生投掷实心球6.2米达标,并拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次,一旦达标无需再投。从该校任选5名学生进行测试,如果有2人不达标的概率超过0