微练(五十五) 双曲线及其简单几何性质-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(五十五)　双曲线及其简单几何性质 基础过关 一、单项选择题 1.已知双曲线的方程为-=1,则下列关于双曲线说法正确的是 (D) A.虚轴长为4 B.焦距为2 C.离心率为 D.渐近线方程为2x±3y=0 解析　由题意知,双曲线-=1的焦点在y轴上,且a2=4,b2=9,故c2=13,所以A,B均错误;离心率e==,故C错误;渐近线方程为y=±x,D正确。故选D。 2.双曲线-=1(0<m<3)的焦距为 (B) A.6 B.12 C.36 D.2 解析　c2=36-m2+m2=36,所以c=6。双曲线的焦距为12。 3.双曲线-=1(m>0,n>0)的渐近线方程为y=±x,实轴长为2,则m-n= (A) A.-1 B.1- C. D.1- 解析　因为双曲线的实轴长为2,所以2=2,所以m=1,又渐近线方程为y=±x,所以=,解得n=2,所以m-n=-1,故选A。 4.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2= (C) A. B. C. D. 解析　由x2-y2=2,知a=b=,c=2。由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=4,|PF2|=2,在△PF1F2中,|F1F2|=2c=4,由余弦定理,得cos∠F1PF2==。 5.(2023·南充市适应性考试)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为 (D) A. B. C. D.2 解析　双曲线-=1(a>0,b>0)的其中一条渐近线的方程为y=x,即bx-ay=0。圆(x-2)2+y2=4的圆心为A(2,0),半径r=2,圆心A(2,0)到直线bx-ay=0的距离d==。因为2=2,所以r2-d2=1,所以4-=1,4c2-4b2=c2,所以4a2=c2,所以e2==4,所以e=2,故选D。 6.设O为坐标原点,直线x=2a与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点,若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 (D) A.32 B.16 C.8 D.4 解析　当题意可得双曲线的渐近线方程为y=±x,令x=2a,得y=±2b,不妨取D(2a,2b),E(2a,-2b),则S△ODE=×2a×4b=4ab=8,所以ab=2。又c2=a2+b2≥2ab=4,当且仅当a=b=时取等号,所以C的焦距的最小值为2×2=4。故选D。 二、多项选择题 7.设F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,且|F1F2|=4,则下列结论正确的有 (AC) A.m=2 B.当n=0时,C的离心率是2 C.点F1到渐近线的距离随着n的增大而减小 D.当n=1时,C的实轴长是虚轴长的两倍 解析　对于选项A,由双曲线的方程可得a2=m+n,b2=m-n,所以c2=a2+b2=m+n+m-n=2m,又因为2c=4,所以c=2,所以c2=2m=4,可得m=2,故选项A正确;对于选项B,当n=0时,双曲线C:-=1,此时a2=b2=2,c2=4,所以离心率e==,故选项B不正确;对于选项C,由选项A,得m=2,则a2=2+n,b2=2-n(-2<n<2),渐近线方程为y=±x,又焦点F1(-2,0),则点F1到渐近线的距离d==b=(-2<n<2),所以点F1到渐近线的距离随着n的增大而减小,故选项C正确;对于选项D,当n=1时,a==,b==1,所以实轴长为2,虚轴长为2,C的实轴长是虚轴长的倍,故选项D不正确。故选AC。 8.(2023·福建龙岩模拟)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,巧夺天工,是唐代金银细作的典范。该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右支与直线x=0,y=4,y=-2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体,若该金杯主体部分的上口外直径为,下底外直径为,双曲线C与坐标轴交于D,E,则 (ABD) A.双曲线C的方程为-=1 B.双曲线-x2=1与双曲线C共渐近线 C.存在一点,使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点 D.存在无数个点,使它与D,E两点的连线的斜率之积为3 解析　依题意可知M,4,N,-2,将M,N的坐标分别代入-=1,得解得a2=3,b2=9,所以双曲线C的方程为-=1,其渐近线为y=±x,故A正确;对于B,由-x2=1,可知其渐近线为y=±x,故B正确;对于C,由双曲线的性质可知,渐近线与双曲线没有交点,与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点,故不存在点,使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点,故C错误。对于D,由结论得kPDkPE===3,故D正确。故选ABD。 三、填