微练(五十四) 直线与椭圆的位置关系-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(五十四)　直线与椭圆的位置关系 基础过关 一、单项选择题 1.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为 (C) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析　由题意可知解得所以椭圆C的方程为+=1。 2.已知椭圆+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=,则实数m的值为 (A) A.±1 B.± C.±2 D.±4 解析　由消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0。由Δ>0,得m2<3。设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=。由题意,得|AB|==,解得m=±1,满足m2<3。故选A。 3.已知椭圆M:+=1(a>b>0),过M的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A,B两点,若AB的中点坐标为(2,1),则椭圆M的方程为 (D) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 解析　直线AB的斜率k==-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程可得+=1,+=1,两式相减,整理得-=0,又c=3,a2=b2+c2。联立解得a2=18,b2=9。所以椭圆M的方程为+=1。 4.已知点P(x,y)是椭圆+=1上任意一点,则点P到直线l:y=x+5的最大距离为 (A) A. B. C.5+ D.5- 解析　设直线y=x+m与椭圆相切,由得13x2+18mx+9m2-36=0,所以Δ=(18m)2-4×13(9m2-36)=0,解得m=±,切线方程为y=x+和y=x-,与l距离较远的是y=x-,所以所求最大距离为d==。故选A。 5.已知直线y=kx+1,当k变化时,此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是 (B) A.2 B. C.4 D.不能确定 解析　直线恒过定点(0,1),且点(0,1)在椭圆上,可设另外一个交点为(x,y),则弦长为===,所以当y=-时,弦长最大为。 6.已知椭圆+=1(a>b>0),P(0,2),Q(0,-2),过点P的直线l1与椭圆交于A,B,过点Q的直线l2与椭圆交于C,D,且满足l1∥l2,设AB和CD的中点分别为M,N,若四边形PMQN为矩形,且其面积为4,则该椭圆的离心率e= (D) A. B. C. D. 解析　由题可知,直线l1,l2的斜率存在且不为零,不妨设直线l1,l2的斜率大于零,连接OM(O为坐标原点)。由题意知解得或(舍去)。在△PMO中,因为|OM|=|PM|=|PO|=2,所以∠MPO=∠POM=60°,故此时kAB=tan 30°=,kOM=tan 150°=-。设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得+=0,即·=-,即kAB·kOM=-=-,所以e2==1-=,所以e=。故选D。 二、多项选择题 7.设椭圆的方程为+=1,斜率为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点。下列结论正确的是 (BD) A.直线AB与OM垂直 B.若点M坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0 C.若直线方程为y=x+1,则点M坐标为, D.若直线方程为y=x+2,则|AB|= 解析　对于A项,因为在椭圆中,根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM=-=-2≠-1,所以A项不正确;对于B项,根据kAB·kOM=-2,得kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,所以B项正确;对于C项,若直线方程为y=x+1,点M,,则kAB·kOM=1×4=4≠-2,所以C项不正确;对于D项,若直线方程为y=x+2,与椭圆方程+=1联立,得到2x2+(x+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,解得x1=0,x2=-,所以|AB|=--0=,所以D项正确。 8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右两焦点分别是F1,F2,其中|F1F2|=2c。直线l:y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A,B两点,则下列说法中正确的有 (AC) A.△ABF2的周长为4a B.若AB的中点为M,则kOM·k= C.若·=3c2,则椭圆的离心率的取值范围是, D.若|AB|的最小值为3c,则椭圆的离心率e= 解析　由直线l:y=k(x+c)过点(-c,0),知弦AB过椭圆的左焦点F1。所以△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a,所以A正确;设A(x1,y1),B(x2,y2),则M,,kOM=,k=,所以kOM·k=·=,由①-②得+=0,所以=-,则kOM·k==-,所以B错误;因为=(-c-x1,-y1),=(c-x1,-y1),所以·=-c2+=+a2-2c2∈[a2-2c2,a2-c2],又·=3c2,所以a2-2