微练(五十三) 椭圆及其简单几何性质-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(五十三)　椭圆及其简单几何性质 基础过关 一、单项选择题 1.椭圆+=1的焦点坐标为 (B) A.(±3,0) B.(0,±3) C.(±9,0) D.(0,±9) 解析　根据椭圆方程可得焦点在y轴上,且c2=a2-b2=25-16=9,所以c=3,故焦点坐标为(0,±3)。 2.若椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为 (C) A. B. C. D. 解析　依题意可知,c=b,又a==c,所以椭圆的离心率e==。 3.已知F1,F2是椭圆C:+y2=1的两个焦点,若点P是椭圆C上的一个动点,则△PF1F2的周长是 (A) A.4+2 B.4+2 C.8 D.10 解析　由椭圆C:+y2=1知,a=2,b=1,c==,所以|F1F2|=2,由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a=4,则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+2。 4.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且满足短半轴长为2的椭圆方程是 (B) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析　由9x2+4y2=36可得+=1,所以所求椭圆的焦点在y轴上,且c2=9-4=5,又b=2,所以a2=25,所以所求椭圆方程为+=1。 5.(2023·武汉调研)设椭圆+=1的一个焦点为F,则对于椭圆上两动点A,B,△ABF周长的最大值为 (D) A.4+ B.6 C.2+2 D.8 解析　设F1为椭圆的另外一个焦点,则由椭圆的定义可得|AF|+|BF|+|AB|=2a-|AF1|+2a-|BF1|+|AB|=4a+|AB|-|BF1|-|AF1|=8+|AB|-|BF1|-|AF1|,当A,B,F1三点共线时,|AB|-|BF1|-|AF1|=0,当A,B,F1三点不共线时,|AB|-|BF1|-|AF1|<0,所以当A,B,F1,三点共线时,△ABF的周长取得最大值8。 6.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示,清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示,北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示,这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆。已知图①、②、③中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为,,,设图①、②、③中椭圆的离心率分别为e1,e2,e3,则 (A) 　　 ① ② ③ A.e1>e3>e2 B.e2>e3>e1 C.e1>e2>e3 D.e2>e1>e3 解析　因为椭圆的离心率e=====,所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大,离心率越大。因为≈1.44,≈1.24,≈1.43,则>>,所以e1>e3>e2。故选A。 7.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2。若在x轴上方的C上存在两个不同的点M,N满足∠F1MF2=∠F1NF2=,则椭圆C的离心率的取值范围是 (C) A.0, B.,1 C.,1 D., 解析　取椭圆的上顶点为B,连接BF1,BF2,若在x轴上方的C上存在两个不同的点M,N满足∠F1MF2=∠F1NF2=,则∠F1BF2>,所以只需>sin=,又0<e<1,所以e∈,1。故选C。 二、多项选择题 8.(2023·衡阳模拟)对于曲线C:+=1,下面四个说法正确的是 (CD) A.曲线C不可能是椭圆 B.“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件 C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件 D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件 解析　当1<k<4且k≠2.5时,曲线C是椭圆,所以A错误;当k=2.5时,4-k=k-1,此时曲线C是圆,所以B错误;若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则解得2.5<k<4,所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件,所以C正确;若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则解得1<k<2.5,所以D正确。故选CD。 9.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C上一点,则 (CD) A.C的离心率为 B.△PF1F2的周长为5 C.∠F1PF2<90° D.1≤|PF1|≤3 解析　依题意,a=2,b=,c=1,则离心率e==,选项A错误;△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6,选项B错误;因为c<b,所以以F1F2为直径的圆在椭圆C的内部,故∠F1PF2<90°,选项C正确;由椭圆的性质可知a-c≤|PF1|≤a+c,即1≤|PF1|≤3,选项D正确。 三、填空题 10.若椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的两倍,则m的值为  。  解析　将原方程变形为x2+=1。由题意知a2=,b2=1,所以a=,b=1。所以=2,所以m=。 11.(2023·郴州模拟)已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上