4.3 函数的应用（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019必修第一册）

函数的应用 1 函数模型 一次函数 二次函数 指数函数 指数型函数 对数函数 对数型函数 幂函数 幂函数型 2 增长快慢比较 常见函数图象 3 函数的零点 ① 函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. ② 方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点 ⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 如 方程的实数根是， 函数与轴的交点横坐标是， 函数的零点是，而不是. 拓展 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. 解惑 若让你求解?可能知道，那是否只有一个实数根呢？ 而方程的实数根函数与函数的交点横坐标 如图就较容易得到，方程实数根有3个. ③求函数零点方法 (代数法) 求方程的实数根. (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置. 4函数零点定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 5二分法 ① 二分法的概念 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. ② 用二分法求方程近似解的步骤 确定区间，验证，给定精确度； 求区间的中点 计算， 若则就是函数的零点； 若，则令(此时零点 若，则令(此时零点) 判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为(或)；否则重复 【题型一】不同函数模型的认识 【典题1】 惠州市某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如表所示： 用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　) ． 【题型二】不同函数模型的应用 【典题1】 某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． 求森林面积的年增长率； 到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林多少年？ (参考数据： 【典题2】 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套元的价格收购其生产的全部防护服．公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到万件)，其中为工厂工人的复工率()．公司生产万件防护服还需投入成本(万元)． 将公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数； 对任意的(万元)，当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？(精确到)． 巩固练习 (★) 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用(　　) ．一次函数 ．二次函数 指数型函数 ．对数型函数 (★) 对于两个变量有如下一组数据， 则间模拟效果最好的曲线方程是(　　) (★★) 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若，现有一杯的热水降至大约用时分钟，那么水温从降至，大约还需要　　(参考数据：) A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 (★★)（多选）某食品的保鲜时间 (单位：小时)与存储温度(单位：满足函数关系且该食品在的保鲜时间是小时．已知甲在某日上午时购买了该食品，并将其遗忘在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，则下列结论正确的有　　 A．该食品在的保鲜时间是小时 B．当时，该食品的保鲜时间随着的增大而逐渐减少 C．到了此日时，甲所购买的食品还在保鲜时间内 D．到了此日时，甲所购买的食品已经过了保鲜时间 (★★) 生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象．若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型为常数)来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间 (单位：天)之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出．据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加11倍所需要的时间为 　 　天． (★★)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于等于80时听课效果最佳． (1)试求的函数关系式； (2)一道数学