3.1 椭圆-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

椭圆 1 定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 如图：是椭圆上一点.(三角形两边之和大于第三边) 注 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点P的轨迹是无轨迹. 2 几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 轴长 短轴长长轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 3 一些常见结论 ① 通径：过焦点且垂直于长轴的弦，其长度为； ② 最大角，是椭圆上一点，当运动到短轴端点时，为最大角； ③ 焦点三角形面积； ④ 焦半径，； ⑤ 椭圆的参数方程.   【题型一】椭圆的定义 【典题1】 设定点动点满足条件，则点的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 巩固练习 1(★) 下列说法中正确的是(　　)． A．已知，，到两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 B．已知，，到两点的距离之和为的点的轨迹是椭圆 C．到，两点的距离之和等于点到的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．到，两点距离相等的点的轨迹是椭圆 2(★★) 在棱长为的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为(　　) A． B． C． D． 【题型二】椭圆方程 【典题1】 已知方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为　 　． 【典题2】已知是椭圆的右焦点，且过点则椭圆的标准方程为　　． 巩固练习 1(★) 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是(　　)． A． B． C． D． 2(★) 已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为　 　． 3(★★) 椭圆的两个焦点坐标分别是，，且过点，求椭圆的标准方程. 【题型三】椭圆的图像及其性质 【典题1】如图，已知椭圆的中心为原点为的左焦点为上一点，满足且则椭圆的方程为 . 【典题2】 椭圆的离心率为为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与关于直线对称，则椭圆方程为 . 【典题3】 已知椭圆：的左右焦点分别为,点是椭圆上一点，线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为若则椭圆的离心率为 . 巩固练习 1(★) 已知椭圆的标准方程为1，下列说法正确的是(　　) A．椭圆的焦点在轴上 B．椭圆的焦距为 C．椭圆的离心率为 D．椭圆的右顶点坐标为 2(★) 在等边中，若以，为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率为　　． 3(★) 椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为　 　． 4(★★) 已知点，椭圆经过点，点为椭圆的右焦点，若的一个内角为，则椭圆的方程是　　． 5(★★) 点是椭圆上一点，分别是该椭圆的左、右焦点，若，则的面积是(　　) A． B． C． D． 6(★★) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则直线的斜率为(　　) A． B． C． D． 【题型四】最值问题 情况1 求离心率范围 【典题1】 如图，已知椭圆：1的左，右焦点分别为焦距为是椭圆上一点(不在坐标轴上)是的平分线与轴的交点，若则椭圆离心率的范围是　 　． 情况2 几何法求范围 【典题1】 在平面直角坐标系中是椭圆上的一个动点，点 则的最大值为　 　. 情况3 函数法求范围 【典题1】 已知椭圆C：1的短轴长为焦距为、分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的最小值为 . 【典题2】 已知椭圆：1与圆：恰有两个公共点，若点在上，且位于第一或第四象限，点为的右焦点，则的取值范围为 (　　) A．(－10) B．(－16] C．(－16，10) D．[16) 巩固练习 1 (★★) 设椭圆的两个焦点分别为，，若在轴上方的上存在两个不同的点满足，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 2 (★★) 点为椭圆上一点、分别是圆和上的动点，则的取值范围是　 　． 3 (★★) 已知是椭圆的右焦点是椭圆上一动点，则周长的最大值为 4 (★★★) 已知椭圆：为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆为圆的两条切线为切点，则的取值范围是　 　． 5(★★★) 已知椭圆:的右焦点为过原点的直线与椭圆交于两点，则的取值范围为　 　. 6 (★★★) 已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则该椭圆离心率的取值范围为　 　． (★★★) 已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$