3.4 直线与圆锥曲线-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

直线与圆锥曲线 1 直线与圆锥曲线的位置关系 设直线，圆锥曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程. ① 当时， 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点相交; 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点相切; 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点相离. ② 当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2直线与圆锥曲线的弦长公式 (1)直线与圆锥曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) (2) 抛物线的焦点弦长 为弦所在直线的倾斜角.(其他形式的抛物线类似) 3 中点弦 ① 涉及到中点弦问题可用点差法求解，在处理双曲线的中点弦问题要注意检验！ ②“点差法”的常见题型：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．   【题型一】直线与圆锥曲线的位置关系 【典题1】不论为何值，直线与椭圆有公共点，则实数的范围是 . 【典题2】已知双曲线过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程． 巩固练习 1(★) 若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为 . 2(★) 直线和曲线的位置关系为 . 3(★) 直线与双曲线没有交点，则的取值范围为 . 4(★★) 已知点在直线上，点在曲线上，则的最小值为 . 5(★★) 椭圆：上的点到直线的距离的最小值为 . 【题型二】弦长问题 【典题1】 已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点． 求椭圆的标准方程；当求此时直线的方程； 【典题2】设离心率为，实轴长为的双曲线：的左焦点为，顶点在原点的抛物线的准线经过点，且抛物线的焦点在轴上． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于不同的两点，，且满足，求的最小值． 【典题3】在平面直角坐标系中，已知点，点满足．记的轨迹为． (1)求的方程； (2)设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和两点， 且，求直线的斜率与直线的斜率之和． 巩固练习 1(★★) 设为拋物线：的焦点，其准线与轴的交点为过点且倾斜角为的直线交拋物线于两点，则的面积为 . 2(★★) 已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于两不同点，抛物线在两点处的切线相交于点，且的横坐标为，则弦长______. 3(★★★) 已知曲线及直线．且直线与双曲线有两个不同的交点． (1)求实数的取值范围； (2)是坐标原点，且的面积为，求实数的值． 4(★★★) 已知椭圆的对称中心为坐标原点焦点在轴上，左、右焦点分别为和点在该椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)过的直线与椭圆相交于两点，若的面积为求以为圆心且与直线相切的圆的方程． 5(★★★)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆和椭圆，其中，，的离心率分别为，且满足，分别是椭圆的右、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，且. (1)求椭圆的方程；(2)与椭圆相切的直线交椭圆与点，求的最大值. 【题型三】中点弦问题 【典题1】 过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程. 【典题2】已知双曲线， (1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程； (2)是否存在直线，使得为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 巩固练习 1(★★) 已知椭圆：1，过点)的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是(　　) A． B． C． D． 2(★★) 双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 . 3(★★)已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 4(★★★) 已知椭圆，试确定的的范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称. 5(★★★) 已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于，两点． (1)当直线的斜率为时，求线段的长度； (2)当点恰好为线段的中点时，求的方程． 6(★★★) 已知双曲线的渐近线方程为，焦距为．过点作直线交双曲线于两点，且为的中点． (1)求双曲线的方程；(2)求直线的方程． 【题型四】其他应用 【典题1】 设是抛物线上的两点是坐标原点，下列结论成立的是(　　) A．若则 B．若直线过定点 C．若到直线AB的距离不大于 D．若直线过抛物线的焦点且则 【典题2】 已知椭圆的离心率为过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则(其中为原点)的形状为 . 【典题3】已知抛物线：焦点为准线为抛