平方根与立方根（拓展）讲义2023-2024学年苏科版八年级数学上册

平方根与立方根（拓展） 一、【求一个数的平方根或算术平方根】 例1、的算术平方根是 二、【已知一个数的平方根求这个数】 例2、（1）若一个正数的两个不同的平方根分别为2a+1和3a-11，求a得值和这个正数。 （2）已知4-n和2n+1是一个正数的平方根，求这个正数。 三、【利用开平方的意义解题】 例3、已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的平方根是±4，求a+2b的平方根。 四、【利用算术平方根的非负性解题】 例4、已知x、y、m满足,且y为正数，求m得取值范围。 五、【利用平方根的概念解方程】 例5、求下面各式中的x值。 （1） (2) 六、【利用算术平方根的概念解方程】 例6、已知,则x的值为 七、【与平方根相关的学科内综合题】 例7、（1）已知单项式 （2）已知一个正方体的表面积是12平方分米，则这个正方体的棱长为 八、【求一个数或（式）的立方根】 例8、求下列各数或（式）的立方根 （1） （2） （3） 九、【与立方根相关的计算】 例9、计算： （1） （2） 十、【运用立方根的概念解方程】 例10、求下列各式中的x值。 （1） （2） （3） （4） 十一、【利用立方根的性质求代数式的值】 例11、已知与的值互为相反数，求（y≠0）的平方根。 十二、【利用立方根的概念解决实际问题】 例12、在一个长、宽、高分别为9cm、8cm、3cm的长方体容器中装满水，然后将长方体容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长。 十三、【与立方根相关的探索规律题】 例13、在小于1000的非零自然数中，算术平方根与立方根都不是整数的有 个。 十四、【与立方根相关的学科内综合题】 例14、在容器为8立方厘米的正方体筐中，能否放入一根长为2.5厘米的细木条？能否放入一根长为3.5的细木条？ 【课后练习】 1、计算的算术平方根是（ ） A、3 B、15 C、 D、 2、若一个自然数的算术平方根为a，则与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根为（ ） A、 B、 C、 D、a+1 3、的立方根是（ ） A、2 B、-2 C、 D、 4、的平方根与-8的立方根的和是（ ） A、0 B、-4 C、0或-4 D、4 5、已知一个正数的两个平方根分别为2a+5和2a-1，则这个正数是 6、若，则ab的值为 7、若，则k的值为 8、观察下列等式：，，，……。总结规律，用含n的等式表示这一规律为 9、求下面各式中x的值： （1） （2） (3) (4) (5) (6) 10、（1）已知,求y-2x的平方根。 （2）已知Rt△ABC的三边长分别是a、b、c，且。 11、已知3a-1的算术平方根是,2是3a+b-1的平方根，求a+2b的平方根。 12、若多项式是关于x、y的三次多项式，求mn的立方根。 13、已知的值是多少？ 14、小明是一位善于思考、勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数i，使i2=-1，那么（-i）2=-1，因此-1就有两个平方根了．进一步，小明想：因为（±2i）2=-4，所以-4的平方根就是±2i；因为（±3i）2=-9，所以-9的平方根就是±3i．请你根据上面的信息解答下列问题： ①求-16，-25的平方根；  ②求i3，i4，i5，i6，i7，i8，…的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用式子表示出来． 15、设，，，……，其中n为正整数，求的值。 16、我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根。华罗庚脱口而出：39.众人十分惊奇，忙问计算的奥妙。你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： （1）=1000，=1000000，，你能确定59319的立方根是几位数吗？