3.2.1 双曲线及其标准方程第1课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程 第 3 章圆锥曲线的方程 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。 我们知道，平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆. 一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么?下面我们探究一下这个问题. 问题1.在|F1F2|>|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件?两圆的交点M的轨迹是什么形状? 当点M靠近定点F1时 |MF2|- |MF1|=|AB| 总之，点M与两个定点F1, F2距离的差的绝对值|AB|是个常数(|AB|< |F1F2|).这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支. 我们发现，在|F1F2|>|AB|的条件下，点P在线段AB外运动时， 当点M靠近定点F2时 |MF1|- |MF2|= |AB| 6 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 通常情况下，我们把|F1F2|记为2c(c>0), 常数记为2a(a>0)， 则双曲线定义还可以描述为 若||MF1|-|MF2||=2a<2c， 则点M 的轨迹是双曲线. F1 F2 M 追问1.定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？ 如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支. F1 F2 M ① 若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？ ② 若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？ ③ 若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 此时轨迹不存在 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线 追问2.定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0 (即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？ F1 F2 M F1 F2 M F1 F2 M F1 F2 M x y O 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2,是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2,的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy. 问题2.类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系呢？如何得出双曲线的方程呢? 设M(x, y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1, F2的坐标分别是(-c,0),(c, 0)。 由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合: 问题2.类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系呢？如何得出双曲线的方程呢? F1 F2 M y O x |MF1|-|MF2||=2a, 0<2a<|F1F2| 11 F1 F2 M x y O 问题2.类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系呢？如何得出双曲线的方程呢? 由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,所以c2-a2>0.类比椭圆标准方程的建立过程，令b2=c2-a2， 我们称方程②为双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1 (-c，0)，F2 (c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2. 问题3.类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么? 双曲线的焦距为2c,焦点分别是F1(0，-c),F2(0，c), a, b的意义同上，这时双曲线的方程是 这个方程表示焦点在y轴上的双曲线的标准方程. x y O M(x,y) F1 F2 13 焦点在x轴的双曲线x2项系数为正. 焦点在y轴的双曲线y2项系数为正. 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 c2-a2=b2 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 x F1 F2 y O M(x,y) x y O M(x,y) F1 F2 14 复习导入 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 双曲线与椭圆之间的区别与联系 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c),