专题27.1 比例线段【九大题型】-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（人教版）

专题27.1 比例线段【九大题型】 【人教版】 【题型1 成比例线段的概念辨析】 1 【题型2 成比例线段与比例尺的结合】 2 【题型3 成比例线段的实际应用】 2 【题型4 利用比例的性质求字母的值】 4 【题型5 利用比例的性质求代数式的值】 4 【题型6 利用比例的性质进行证明】 4 【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】 5 【题型8 黄金分割的概念辨析】 7 【题型9 黄金分割的实际应用】 7 【知识点1 成比例线段的概念】 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 【题型1 成比例线段的概念辨析】 【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【变式1-1】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）已知四条线段的长度分别为，2，6，，且它们是成比例线段，则的值为 . 【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知a，b，c为的三边长，且，． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长． 【变式1-3】（2023春·上海宝山·九年级统考期末）如果，且是和的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【题型2 成比例线段与比例尺的结合】 【例2】（2023春·四川成都·九年级统考期中）在比例尺是的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行 千米． 【变式2-1】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）地图上两地间的图上距离为厘米，比例尺是，那么这两地间的实际距离是（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【变式2-2】（2023春·全国·九年级统考期末）长江二桥位于长江大桥下游3公里处、桥梁长度2400米，一张平面地图上桥梁长度是4.8厘米，这张平面地图的比例尺为 【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级校联考期末）相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是 厘米． 【题型3 成比例线段的实际应用】 【例3】（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为该班学生上、下学期各社团的人数比例．若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述正确的是（　　） 文学社 篮球社 动漫社 上学期 3 4 5 下学期 4 3 2 A．文学社增加，篮球社不变 B．文学社不变，篮球社不变 C．文学社增加，篮球社减少 D．文学社不变，篮球社减少 【变式3-1】（2023春·六年级校考课时练习）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm？ 【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（    ）m A． B． C． D． 【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一张矩形纸片的长，宽，按照图中所示方式将它裁成矩形与矩形.若矩形与矩形的短边与长边之比相等，求的长. 【知识点2 比例的性质】 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 【题型4 利用比例的性质求字母的值】 【例4】（2023春·四川成都·九年级校考期中）已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 【变式4-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期中）已知，且，求x，y的值． 【变式4-2】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为的三边长，且，． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长． 【变式4-3】（2023春·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知，则 ． 【题型5 利用比例的性质求代数式的值】 【例5】（2023春·山东威海·九年级统考期中）