专题02 解直角三角形及其应用（知识串讲+9大考点）-【一遍过】2023-2024学年九年级数学下册重难考点一遍过（北师大版）

专题02 解直角三角形及其应用 考点类型 知识一遍过 （一）直角三角形边角关系 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　， ， 　　④，h为斜边上的高. （二）解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由=，求∠A； ∠B=90°－∠A； 斜边，一直角边(如c，a) 由=，求∠A； ∠B=90°－∠A； 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， （三）解直角三角形应用的相关概念 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 考点一遍过 考点1：网格中解直角三角形 典例1：（2023·四川广元·统考二模）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023春·海南省直辖县级单位·九年级校联考阶段练习）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2022春·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2022秋·山东济宁·九年级校考期末）如图，，，是正方形网格的格点，连接，，则的值是（    ） A． B． C． D． 考点2：坐标系中解直角三角形 典例2：（2023·河南洛阳·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在坐标原点，，顶点C的坐标为，的图象与菱形对角线交于点D，连接，当轴时，k的值是（　　）    A． B． C． D． 【变式1】（2023秋·广东佛山·九年级校考期末）一块直角三角板按如图放置，顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（2022秋·七年级单元测试）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，．将绕点逆时针旋转，点B的对应点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（2022秋·九年级单元测试）如图，若点的坐标为，则等于（    ）      A． B． C． D． 考点3：解直角三角形——直接法 典例3：（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知中，，，，求和的值． 【变式1】（2022秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）如图，是的中线，，，． (1)的长为 ； (2)求的值． 【变式2】（2022秋·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，且∠ADC=45°，AD=2，求tanB的值． 【变式3】（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，、、三点在同一水平线上，，，，． (1)求的度数； (2)求线段的长度． 考点4：解直角三角形——化斜为直 典例4：（2022春·浙江·九年级专题练习）在中，，，，求的长． 【变式1】（2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.    (1)若，求的长度； (2)若，求． 【变式2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝. (1)求BC的长； (2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2)． 【变式3】（202