专题5.4 导数在研究函数中的应用【七大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.4 导数在研究函数中的应用【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 利用导数研究函数的零点（方程的根）】 1 【题型2 利用导数证明不等式】 2 【题型3 利用导数研究不等式恒成立问题】 4 【题型4 利用导数研究存在性问题】 4 【题型5 利用导数研究双变量问题】 5 【题型6 导数中的新定义问题】 6 【题型7 导数在实际问题中的应用】 7 【知识点1 导数中的函数零点（方程根）问题】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 【题型1 利用导数研究函数的零点（方程的根）】 【例1】（23·24上·广东·阶段练习）若函数恰有两个零点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23·24上·南昌·阶段练习）关于的方程至少有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23·24上·无锡·期中）设函数，，在上的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（22·23·商洛·模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【知识点2 导数中的不等式证明】 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 【题型2 利用导数证明不等式】 【例2】（23·24·南宁·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在区间上存在唯一零点，求证：. 【变式2-1】（23·24上·宁波·一模）已知函数（e为自然对数的底数，）. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时， 【变式2-2】（23·24上·河西·阶段练习）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值； (3)当时，函数恰有两个不同的零点，，且，求证：. 【变式2-3】（23·24上·辽宁·阶段练习）已知函数. (1)若函数在定义域内不单调，求实数的取值范围； (2)若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围； (3)若、，且，求证：. 【知识点3 导数中的恒成立、存在性问题】 1．导数中的恒成立、存在性问题 解决不等式恒（能）成立问题有两种思路： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可. 【题型3 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例3】（23·24上·河南·期中）若恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23·24上·德阳·阶段练习）已知函数，若在恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23·24上·镇江·期中）已知函数（其中）． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【变式3-3】（23·24上·北辰·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在处切线的斜率； (2)讨论函数的单调性； (3)若有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 【题型4 利用导数研究存在性问题】 【例4】（22·23·全国·专题练习）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22·23·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意，，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数a的最大值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式4-2】（22·23·全国·专题练习）已知函数（，）． (1)当（是自然对数的底数）时，求函数的单调区间； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【变式4-3】（22·23·全国·专题练习）设函数． (1)已知函数在定义域内为增函数，求a的取值范围； (2)设，对于，总存在，使成立